संख्या प्रणाली

संख्या प्रणाली गणित की एक महत्वपूर्ण नींव है। यह वह तरीका है जिससे हम दिन-प्रतिदिन के जीवन में और अधिक उन्नत गणितीय कार्यों में संख्याओं को समझते और काम करते हैं। हम इसे विस्तार से समझने जा रहे हैं, शुरुआत करते हैं संख्याओं के प्रकारों से, और यह समझने के साथ कि वे एक-दूसरे के साथ कैसे संपर्क करते हैं।

संख्या प्रणाली क्या है?

एक संख्या प्रणाली संख्या को प्रस्तुत करने और काम करने का एक तरीका है। यह संख्या लिखने, मात्रा को प्रस्तुत करने और गणनाएं करने के लिए एक ढांचा प्रदान करती है। आज दुनिया में सबसे व्यापक रूप से उपयोग में लाई जाने वाली संख्या प्रणाली दशमलव प्रणाली है, जिसे दशमलव संख्या प्रणाली भी कहा जाता है। इसे आधार 10 भी कहते हैं।

दशमलव प्रणाली

दशमलव प्रणाली को आधार 10 प्रणाली कहा जाता है क्योंकि यह दस अंकों पर आधारित है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9। इन अंकों का उपयोग करके कोई भी संख्या बनाई जा सकती है। उदाहरण के लिए, 573 एक संख्या है जहाँ:

573 = 5 × 100 + 7 × 10 + 3 × 1

यह प्रणाली स्थान मूल्य पर निर्भर करती है, जहाँ प्रत्येक अंक की स्थिति उसके मूल्य को निर्धारित करती है। सबसे दायें वाला अंक सबसे छोटा होता है, जिसे अक्सर इकाई स्थान कहते हैं, और बाएं की ओर प्रत्येक कदम मूल्य को दस की शक्ति से बढ़ा देता है।

        संख्या: 4,572
        स्थान: हजारों, सैकड़ों, दहाई, इकाई
        मूल्य: 4*1000, 5*100, 7*10, 2*1
    

संख्याओं के प्रकार

संख्याओं को विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है। आइए प्रत्येक प्रकार पर एक नजर डालते हैं:

प्राकृतिक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका हम गिनती के लिए उपयोग करते हैं। ये 1 से शुरू होती हैं और अनंत तक जाती हैं: 1, 2, 3, 4, 5, आदि।

पूर्णांक

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं की तरह होते हैं, लेकिन इनमें शून्य भी शामिल होता है। तो, श्रृंखला 0 से शुरू होती है। उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, 5, आदि।

पूर्ण संख्याएं

पूर्ण संख्याएं संपूर्ण संख्या और उनके नकारात्मक समकक्षों को शामिल करती हैं। इसका मतलब है कि पूर्ण संख्याएँ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न गुना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ हर का हरिका शून्य नहीं होता। उदाहरण के लिए, 1/2 , -3/4 , और 5/1 (जो सिर्फ 5 है) सभी परिमेय संख्याएँ हैं।

        1/2, -2/3, 4/5, 7/1, -8/2
    

अपरिमेय संख्याएँ

अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें साधारण भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता। इसका मतलब है कि उनके दशमलव स्थान हमेशा बिना दोहराए बढ़ते रहते हैं। आम उदाहरणों में 2 का वर्गमूल और π (पाई) शामिल हैं।

उदाहरण:

    √2 = 1.414213...
    π = 3.141592...

वास्तविक संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर सभी संख्याएँ होती हैं, जिसमें परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ दोनों शामिल होती हैं। यदि आप किसी संख्या रेखा पर एक संख्या को इंगित कर सकते हैं, तो वह एक वास्तविक संख्या होती है।

संख्याओं के साथ क्रियाएँ

हम संख्याओं के साथ कई मूलभूत क्रियाओं का उपयोग करते हैं। ये क्रियाएँ हमें वास्तविक जीवन में गणना करने में मदद करती हैं।

जोड़

जोड़ दो या अधिक संख्याओं का योग है। उदाहरण के लिए, 3 + 7 = 10।

घटाव

घटाना एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाकर अंतर प्राप्त करना है। उदाहरण के लिए, 10 - 4 = 6।

गुणा

गुणा का मतलब है किसी संख्या को कई बार जोड़ना। उदाहरण के लिए, 5 × 3 = 5 + 5 + 5 = 15।

भाग

भाग देना का मतलब है एक संख्या को समान भागों में बांटना। उदाहरण के लिए, 12 ÷ 4 = 3 क्योंकि 12 को 4 समान भागों में बांटने पर 3 आता है।

संख्याओं के गुणधर्म

संख्याओं के विभिन्न गुणधर्म होते हैं जो गणनाओं को सरल बनाने और उनके व्यवहार को समझने में मदद कर सकते हैं।

परस्पर गुणधर्म

यह गुणधर्म कहता है कि संख्याओं के क्रम को बदले बिना परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। यह जोड़ और गुणा दोनों पर लागू होता है।

        जोड़: 4 + 5 = 5 + 4
        गुणा: 6 × 7 = 7 × 6
    

सहचर गुणधर्म

इस गुणधर्म के अनुसार, संख्याओं के समूह को बदले बिना परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। यह जोड़ और गुणा दोनों पर लागू होता है।

        जोड़: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
        गुणा: (1 × 2) × 3 = 1 × (2 × 3)
    

वितरण गुणधर्म

यह गुणधर्म जोड़ और गुणा को जोड़ता है। यह कहता है कि किसी संख्या को एक समूह से गुणा करना, जिन्हें मिलाकर जोड़ा जाता है, वही है जैसे प्रत्येक गुणा को अलग-अलग करना।

        a × (b + c) = a × b + a × c
        3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
    

दशमलव के साथ काम करना

दशमलव संख्याएं प्रस्तुत करने का एक और तरीका हैं, जो विशेष रूप से उपयोगी होती हैं जब हम ऐसी संख्याओं को प्रकट करते हैं जो पूर्ण नहीं होती। दशमलव संख्याओं में एक पूर्ण संख्या भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है जो दशमलव बिंदु द्वारा विभाजित होता है।

उदाहरण: 3.75 का मतलब है पूर्ण संख्या 3 और 75 सौवाँ (या 75/100)।

भिन्नों के साथ काम करना

भिन्न एक संपूर्ण के भाग होते हैं। एक भिन्न में एक अंश (न्यूमरेटर) और एक हर (डिनॉमिनेटर) होता है, जहाँ अंश विभाजक के ऊपर का भाग होता है और हर विभाजक के नीचे का भाग होता है।

उदाहरण: भिन्न 3/4 में, 3 अंश है और 4 हर है।

भिन्नों को दशमलव में भी बदल सकते हैं, अंश को हर से विभाजित करके। जैसे:

        1 ÷ 2 = 0.5
    

प्रतिशत के साथ काम करना

प्रतिशत 100 में से किसी भिन्न को व्यक्त करने का एक विशेष तरीका है। उदाहरण के लिए, 50% का अर्थ है 100 में से 50 या 50/100, जो दशमलव में 0.5 के बराबर है।

        25% का 200 = (25/100) × 200 = 50
    

निष्कर्ष

संख्याओं की प्रणाली को समझना केवल गणित के लिए ही नहीं बल्कि रोजमर्रा के जीवन के लिए भी महत्वपूर्ण है। संख्याएँ हर जगह होती हैं, चाहे हम गिनती कर रहे हों, माप रहे हों या अधिक जटिल गणनाएं कर रहे हों। विभिन्न प्रकार की संख्याओं और उनके गुणों को जानें। ठोस समझ के साथ, गणितीय क्रियाएं सहज और अधिक प्रबंधनीय बन जाती हैं।

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