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घनमूल
गणित की दुनिया में, मूल एक आकर्षक और आवश्यक अवधारणाएँ हैं। विभिन्न प्रकार के मूलों में से एक है प्रिय "घनमूल"। लेकिन घनमूल क्या है और यह कैसे काम करता है? आइए इस अद्भुत विषय में गहराई से देखें और घनमूल के बारे में विस्तार से जानें।
घनमूल क्या है?
किसी संख्या का घनमूल एक ऐसा मान है, जो जब स्वयं से दो बार गुणा किया जाता है, तो मूल संख्या प्राप्त होती है। सरल शब्दों में, यदि x
y
का घनमूल है, तो:
x × x × x = y
इसे व्यंजक प्रतीक का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:
³√y = x
जहां व्यंजक चिह्न के ऊपर छोटा '3' घनमूल को इंगित करता है।
घनमूलों का चित्रण
दृश्य प्रतिनिधित्व गणितीय अवधारणाओं को समझने के सबसे अच्छे तरीकों में से एक हैं। आइए घनमूलों को देखने के लिए एक बुनियादी घन का उपयोग करें।
कल्पना करें कि आपके पास एक घन है, और इसका आयतन (अंतरिक्ष अंदर) इसकी भुजा की लंबाई (a
) को स्वयं से दो बार गुणा करके पाया जा सकता है। यदि आपको आयतन ज्ञात है तो घनमूल भुजा की लंबाई (a
) खोजने में मदद करता है।
घनमूल के उदाहरण
चलिए कुछ सरल उदाहरणों पर नज़र डालते हैं:
उदाहरण 1
8 का घनमूल खोजें।
³√8 = 2
क्योंकि 2 × 2 × 2 = 8
।
उदाहरण 2
27 का घनमूल खोजें।
³√27 = 3
क्योंकि 3 × 3 × 3 = 27
।
उदाहरण 3
64 का घनमूल खोजें।
³√64 = 4
क्योंकि 4 × 4 × 4 = 64
।
घनमूल के गुण
1. एक का घनमूल
एक का घनमूल हमेशा 1 होता है:
³√1 = 1
2. शून्य का घनमूल
शून्य का घनमूल हमेशा 0 होता है:
³√0 = 0
3. सकारात्मक और नकारात्मक मूल
यदि कोई संख्या सकारात्मक है, तो उसका घनमूल भी सकारात्मक होगा। यदि कोई संख्या नकारात्मक है, तो उसका घनमूल भी नकारात्मक होगा। यह वर्गमूल से भिन्न है, जहां नकारात्मक संख्याओं के कोई वास्तविक मूल नहीं होते।
उदाहरण के लिए:
³√(-8) = -2
क्योंकि -2 × -2 × -2 = -8
।
4. एक अपूर्ण घन का घनमूल
अपूर्ण घन के लिए, घनमूल पूर्णांक नहीं होते और उन्हें दशमलव या भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इन मूलों को खोजने के लिए कैलकुलेटर या अनुमान विधियों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है। ³√5
पर विचार करें, जो लगभग 1.71
है।
घनमूल का अनुप्रयोग
घनमूल को समझना वास्तविक जीवन स्थितियों में सहायक हो सकता है, जैसे:
- यदि आपके पास घन का आयतन ज्ञात है, तो इसकी भुजा की लंबाई ज्ञात करना।
- वैज्ञानिक कैलकुलेटर और उन्नत गणित को समझना।
- डिज़ाइन और वास्तुकला में स्थल और आयतन की गणना हेतु।
कैलकुलेटर के बिना घनमूल की खोज
जबकि घनमूल को कैलकुलेटर के साथ जल्दी से खोजा जा सकता है, सरल समस्याओं के लिए उन्हें मैन्युअल रूप से अनुमान लगाने या गणना करने के तरीकों को जानना भी लाभकारी होता है।
विधि: अभाज्य भाज्यीकरण
आइए 216 का घनमूल अभाज्य भाज्यीकरण का उपयोग करके खोजें।
चरण 1: 216 को अभाज्य संख्याओं में तोड़ें:
216 ÷ 2 = 108 108 ÷ 2 = 54 54 ÷ 2 = 27 27 ÷ 3 = 9 9 ÷ 3 = 3 3 ÷ 3 = 1
216 के अभाज्य भाजक हैं 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
।
चरण 2: भाजकों को तिहरे समूह में डालें:
(2 × 2 × 2) और (3 × 3 × 3)
चरण 3: प्रत्येक तिहरे समूह से एक भाजक लें:
2 × 3 = 6
216 का घनमूल 6
है।
घनमूल का अनुमान लगाना
यदि आप एक बड़ी संख्या, जैसे 1000 का घनमूल खोजना चाहते हैं, तो आप इस प्रकार अनुमान लगा सकते हैं:
- पहले, उन दोनों पूर्ण घनों की पहचान करें जिनके बीच आपकी संख्या आती है। इस मामले में, 1000 729 (
9³
) और 1331 (11³
) के बीच में आता है। - चूंकि 1000 10³ = 1000 के करीब है, इसलिए 1000 का घनमूल लगभग 10 है।
व्यायाम समस्याएँ
चलिए कुछ आसान समस्याओं के साथ घनमूल खोजने का अभ्यास करते हैं:
- 512 का घनमूल खोजें।
- 343 का घनमूल क्या है?
- 50 का घनमूल खोजें। (संकेत: 3³ = 27 और 4³ = 64)
उत्तर कुंजी
- ³√512 = 8 क्योंकि 8 × 8 × 8 = 512।
- ³√343 = 7 क्योंकि 7 × 7 × 7 = 343।
- 50 का घनमूल 3 और 4 के बीच में है। 3 के करीब क्योंकि 50 की निकटता 27 के अपेक्षाकृत अधिक है 64 की तुलना में। इसे लगभग 3.68 के आस-पास अनुमानित किया जा सकता है।
निष्कर्ष
घनमूल की अवधारणा को समझना आवश्यक है क्योंकि यह उच्च गणित और विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोगों की नींव रखता है। घनमूल की गणना और अनुमान लगाने में सक्षम होना मानसिक गणना कौशल को मजबूत करता है और समस्या-हल करने की क्षमताओं को बढ़ाता है। अभ्यास के साथ, घनमूलों की दुनिया गणितीय गणनाओं की सुंदरता और तर्क को प्रकट करती है।