घात और घातांक
गणित में, घात और घातांक को समझना विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है, जो बुनियादी अंकगणित से लेकर जटिल बीजगणितीय समीकरणों तक होती हैं। इस विषय को अक्सर मिडिल स्कूल में पेश किया जाता है और उच्चतर गणित के लिए एक नींव के रूप में कार्य करता है, जो हाई स्कूल और उसके बाद प्रस्तुत होता है। आइए इस अवधारणा को आसान शब्दों में उदाहरणों और व्याख्याओं के साथ विस्तार से समझें।
घातांक क्या होते हैं?
घातांक दोहरावदार गुणन को संक्षेप में दर्शाने का एक तरीका है। जब आपके पास कोई संख्या होती है जो अपने आप से कई बार गुणा की जाती है, तो इसे बार-बार लिखने के बजाय, आप गुणन प्रक्रिया को दिखाने के लिए घातांक का उपयोग कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, संख्या 2 को 4 बार स्वयं गुणा करने पर विचार करें:
2 × 2 × 2 × 2
इसे घातांक का उपयोग करके इस प्रकार लिखा जा सकता है:
2 4इस उदाहरण में, संख्या 2 आधार कहलाती है, और संख्या 4 घातांक कहलाती है। 2 4 अभिव्यक्ति को "2 की घात 4" या "2 की चौथी घात" के रूप में पढ़ा जाता है।
घातांक कैसे पढ़ें
यह समझना महत्वपूर्ण है कि घातांक कैसे पढ़े जाएं:
2 2को "2 वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है3 3को "3 घन" के रूप में पढ़ा जाता है4 5को "4 की घात 5" या "4 की पाँचवीं घात" के रूप में पढ़ा जाता है
ध्यान दें कि कोई भी संख्या जो 1 की घात पर होती है वह स्वयं संख्या होती है, और कोई भी संख्या जो 0 की घात पर होती है वह 1 होती है।
घात का चित्रण
आइए 3 2 का अर्थ समझने के लिए एक उदाहरण लें:
3 2 = 3 × 3 = 9यहां, प्रत्येक आयत संख्या 3 को दर्शाता है और चूंकि हमारे पास 3 2 है, इसका मतलब है कि 3 को एक बार फिर से अपने आप से गुणा किया गया है।
घातांकों के वास्तविक जीवन के उदाहरण
घातांकों का कंप्यूटिंग, भौतिकी और वित्त जैसे क्षेत्रों में व्यावहारिक उपयोग होता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
- वर्ग का क्षेत्रफल: वर्ग का क्षेत्रफल खोजने का सूत्र
भुजा 2है। यदि वर्ग की भुजा 5 इकाई है, तो क्षेत्रफल5 2 = 25वर्ग इकाई है। - वैज्ञानिक अंकन: बड़े नंबर जैसे सितारों के बीच की दूरी या छोटे नंबर जैसे परमाणु आकार को सरलता के लिए दस की घात के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- ब्याज गणना: वित्त में, चक्रवृद्धि ब्याज को घातांकों का उपयोग करके गणना किया जा सकता है, जहां मूलधन को वृद्धि कारक द्वारा गुणा किया जाता है जो अवधियों की संख्या की घात पर होता है।
घातांकों के नियम
घातांकों के साथ काम करने के लिए, कुछ बुनियादी नियमों को जानना उपयोगी है जो गणना को सरल बनाते हैं:
- घातों का गुणनफल: जब समान आधार वाले दो घातों को गुणा किया जाता है, तो आधार को रखें और घातांकों को जोड़ें।
a m × a n = a m+nउदाहरण के लिए, 2 3 × 2 4 = 2 3+4 = 2 7।
- घातों का भागफल: जब समान आधार वाले दो घातों को विभाजित किया जाता है, तो आधार को रखें और घातांकों को घटाएं।
a m ÷ a n = a m−nउदाहरण के लिए, 5 6 ÷ 5 2 = 5 6-2 = 5 4।
- घात का घात: जब किसी घात को किसी अन्य घात पर उठाया जाता है, तो आधार को रखें और घातांकों को गुणा करें।
(a m ) n = a m×nउदाहरण के लिए, (3 2 ) 3 = 3 2×3 = 3 6।
- गुणन का घात: जब किसी उत्पाद को घात पर उठाया जाता है, तो उत्पाद के अंदर का प्रत्येक पद घात पर होता है।
(ab) m = a m b mउदाहरण के लिए, (2 × 3) 2 = 2 2 × 3 2 = 4 × 9 = 36।
- शून्य घातांक: किसी भी आधार की शून्य घात 1 होती है, शून्य के आधार को छोड़कर।
a 0 = 1उदाहरण के लिए, 7 0 = 1।
ऋणात्मक घातांक
ऋणात्मक घातांक विभाजन को दर्शाते हैं। एक ऋणात्मक घातांक का अर्थ है कि आधार अंश के गलत पक्ष पर है और उसे अन्य पक्ष पर उलटना होगा।
a −m = 1/a mउदाहरण के लिए, 5 −2 = 1/5 2 = 1/25।
घातीय वृद्धि
घात और घातीय भी घातीय वृद्धि का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। यह एक पैटर्न है जहां संख्याएं तेजी से बढ़ती हैं। यह अक्सर जनसंख्या वृद्धि, वायरल संक्रमण फैलने आदि के मामलों में होता है।
घातीय वृद्धि का उदाहरण
मान लें कि एक बैक्टीरिया हर घंटे में संख्या दोगुनी करता है। यदि आप 2 बैक्टीरिया से शुरू करते हैं, तो:
घंटा 0: 2 0 = 1 × 2 = 2 बैक्टीरिया घंटा 1: 2 1 = 2 × 2 = 4 बैक्टीरिया घंटा 2: 2 2 = 4 × 2 = 8 बैक्टीरिया घंटा 3: 2 3 = 8 × 2 = 16 बैक्टीरिया
जैसा कि आप देख सकते हैं, हर गुजरते घंटे के साथ बैक्टीरिया की संख्या तेजी से बढ़ रही है।
घातांकों के साथ समस्या समाधान
घात और घातांक से संबंधित गणित समस्याएं आमतौर पर अभिव्यक्तियों को सरल बनाने या मूल्यों की गणना करने के लिए कहती हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
उदाहरण 1
निम्नलिखित अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
(3 2 × 3 4 ) ÷ 3 3समाधान:
= 3 2+4 ÷ 3 3 = 3 6 ÷ 3 3 = 3 6-3 = 3 3 = 27
उदाहरण 2
मूल्यांकन करें:
(2 3 ) 2 × 5 0समाधान:
= 2 3 × 2 × 5 0 = 2 6 × 1 = 64 × 1 = 64
घात और घातांकों का अभ्यास
घातांक समस्याओं का अभ्यास करने से इस अवधारणा में सहजता आती है। अभिव्यक्तियों को हल करने, उन्हें सरल बनाने या नियमों को लागू करने का प्रयास करें कि कैसे घातांक काम करते हैं।
4 3 × 4 4को सरल बनाएं।(5 2 ) 3का मूल्यांकन करें।10 5 ÷ 10 2को सरल बनाएं।7 0 + 2 −3की गणना करें।
जब अभ्यास करते हैं, तो नियमों को याद रखें और घातांक को लंबे गुणनों के शॉर्टकट के रूप में सोचें। इन अवधारणाओं को समझने और अभ्यास करने से आपको भविष्य में जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने में दक्षता मिलेगी।
निष्कर्ष
घातांक और घातांक गणित में शक्तिशाली उपकरण हैं। वे अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और बड़े संख्याओं को दक्षता से संभालने में मदद करते हैं। घातांकों की अवधारणा में निपुणता प्राप्त करके, आप गणित के उन्नत विषयों जैसे बीजगणित, कलन, और उससे आगे के लिए एक मजबूत आधार बना रहे हैं।
अभ्यास करते रहें, और जल्द ही आपको लगेगा कि घात और घातांकों के साथ काम करना किसी भी बुनियादी गणितीय ऑपरेशन के रूप में सहज है।
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