Законы степени

Степени используются, чтобы показать, сколько раз число умножается само на себя. Например, в выражении 2^3 число 2 умножается само на себя 3 раза: 2 * 2 * 2 важно понимать правила степеней, потому что они помогают упрощать выражения и решать задачи, связанные со степенями.

Что такое степень?

Степень — это число, которое указывает, сколько раз число-основание умножается само на себя. В выражении a^n a — это основание, а n — это показатель степени. Выражение означает, что a умножается само на себя n раз.

Пример:

3^4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81

Основные правила степеней

Давайте рассмотрим некоторые основные правила степеней. Эти правила фундаментальны для упрощения выражений и решения уравнений.

1. Правило произведения степеней

При умножении двух степеней с одинаковым основанием, оставьте основание и сложите показатели степеней. Другими словами:

a^m * a^n = a^(m+n)

Пример:

2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128

2. Правило деления степеней

При делении двух степеней с одинаковым основанием, оставьте основание и вычтите показатели.

a^m / a^n = a^(m-n)

Пример:

5^5 / 5^3 = 5^(5-3) = 5^2 = 5 * 5 = 25

3. Правило степени степени

При возведении степени в степень, оставьте основание и умножьте показатели степени.

(a^m)^n = a^(m*n)

Пример:

(3^2)^3 = 3^(2*3) = 3^6 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 729

4. Правило степени произведения

Чтобы найти степень произведения, распределите показатель степени на каждый множитель внутри скобок.

(ab)^n = a^n * b^n

Пример:

(2 * 3)^2 = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36

5. Правило степени частного

Примените показатель степени как к числителю, так и к знаменателю, чтобы найти степень частного.

(a/b)^n = a^n / b^n

Пример:

(4/2)^3 = 4^3 / 2^3 = 64 / 8 = 8

6. Правило нулевой степени

Любое основание (кроме 0), возведённое в нулевую степень, равно 1.

a^0 = 1

Пример:

7^0 = 1 100^0 = 1

7. Правило отрицательной степени

Отрицательные степени указывают, сколько раз число должно быть разделено. Это противоположно умножению. Другими словами:

a^(-n) = 1/a^n

Пример:

2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8

Визуальный пример

Вот визуальные примеры с использованием правил чисел и степеней:

Пример произведения степеней:

2^2 * 2^3 = 2^(2+3) = 2^5 Диаграмма: 2^2 = 2 * 2 = 4 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8 Умножение: 4 * 8 = 2^5 Проверка вычислениями: 2^5 = 32

Пример деления степеней:

10^4 / 10^2 = 10^(4-2) = 10^2 Диаграмма: 10^4 = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000 10^2 = 10 * 10 = 100 Деление: 10000 / 100 = 10^2 Проверка вычислениями: 10^2 = 100

Пример степени степени:

(5^2)^3 = 5^(2*3) = 5^6 Диаграмма: 5^2 = 5 * 5 = 25 25 возведено в степень 3 (25^3) Проверка вычислениями: 5^6 = 15625

Пример степени произведения:

(3 * 2)^2 = 3^2 * 2^2 Диаграмма: 3 * 2 = 6 6 в квадрате = 36 Разные вычисления: 3^2 = 9, 2^2 = 4, и 9 * 4 = 36

Дополнительные примеры и задачи

Вот некоторые дополнительные примеры для практики правил степеней и более глубокого понимания их:

Практическая задача 1:

Упростите 4^7 * 4^2.

Решение: Используя правило произведения степеней: 4^7 * 4^2 = 4^(7+2) = 4^9 = 262144

Практическая задача 2:

Упростите 9^5 / 9^3.

Решение: Используя правило деления степеней: 9^5 / 9^3 = 9^(5-3) = 9^2 = 81

Практическая задача 3:

Упростите (6^2)^4.

Решение: Используя правило степени степени: (6^2)^4 = 6^(2*4) = 6^8 = 1679616

Практическая задача 4:

Упростите (4 * 7)^2.

Решение: Используя правило степени произведения: (4 * 7)^2 = 4^2 * 7^2 = 16 * 49 = 784

Практическая задача 5:

Упростите (5/3)^3.

Решение: Используя правило степени частного: (5/3)^3 = 5^3 / 3^3 = 125 / 27

Понимание нулевых и отрицательных степеней

Помимо операций с положительными степенями, важно понимать, как работают нулевые и отрицательные степени.

Пример нулевой степени:

7^0 = 1 Объяснение: Любое ненулевое число, возведённое в степень 0, даёт 1. Это правило возникает из шаблона, наблюдаемого при делении степенных чисел: a^n/a^n = a^(n-n) = a^0 = 1.

Пример отрицательной степени:

3^(-2) = 1/(3^2) Объяснение: Отрицательные степени указывают на обратное. Если показатель степени основания отрицателен, возьмите обратное значение основания и примените положительный показатель. В вычислениях, 3^(-2) = 1/9.

Заключение

Понимание правил степеней упрощает многие математические процессы. Запоминая эти правила, вы сможете эффективно решать уравнения, будь то работа с алгебраическими выражениями или практическими расчётами в различных сферах. Практикуйте эти концепции и правила, чтобы уверенно работать со степенями и степенями.

комментарии