Grado 7
  1. Sistema numérico  1.1. Enteros  1.1.1. Propiedades de los enteros  1.1.2. Operaciones con enteros  1.1.3. Inversos aditivos y multiplicativos  1.1.4. Aplicaciones de los enteros  1.2. Números racionales  1.2.1. Definición de números racionales  1.2.2. Propiedades de los números racionales  1.2.3. Operaciones con números racionales  1.2.4. Forma estándar de números racionales  1.3. Entendiendo los decimales en el sistema numérico  1.3.1. Operaciones con decimales  1.3.2. Entendiendo fracciones y decimales  1.4. Poderes y exponentes  1.4.1. Leyes de exponentes  1.4.2. Simplificando expresiones con exponentes  1.4.3. Comprendiendo la notación científica  1.5. Raíces  1.5.1. Raíz cuadrada  1.5.2. Raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresiones en álgebra  2.1.1. Introducción a las expresiones algebraicas  2.1.2. Simplificación de expresiones  2.1.3. Evaluación de la expresión  2.2. Introducción a las ecuaciones lineales  2.2.1. Resolviendo ecuaciones simples  2.2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales  2.3. Identidades algebraicas  2.3.1. Expansión usando identidades  2.3.2. Simplificación usando identidades
  3. Razón y proporción  3.1. Entendiendo las proporciones  3.1.1. Entendiendo las proporciones  3.1.2. Entendiendo la simplificación de razones  3.1.3. Ratio equivalente  3.2. Entendiendo la proporción en matemáticas  3.2.1. El concepto de proporción  3.2.2. Proporción directa  3.2.3. Entendiendo la proporción inversa  3.3. Comprendiendo el método unitario  3.3.1. Resolver problemas usando el método unitario
  4. Geometría  4.1. Líneas y ángulos  4.1.1. Tipos de ángulos  4.1.2. Pares de ángulos  4.1.3. Propiedades de las líneas paralelas y una transversal  4.1.4. Introducción a las bisectrices de ángulos  4.2. Entendiendo los triángulos en geometría  4.2.1. Tipos de triángulos  4.2.2. Propiedad de la suma de ángulos  4.2.3. Introducción a las propiedades del ángulo exterior  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Entendiendo la congruencia de triángulos  4.3.1. Criterios de conformidad  4.3.2. Aplicaciones de la congruencia  4.4. Cuadrilátero  4.4.1. Tipos de cuadriláteros  4.4.2. Propiedades del paralelogramo  4.4.3. Cuadriláteros especiales  4.4.4. Propiedades de los rectángulos y rombos
  5. Mensuración  5.1. Comprendiendo el perímetro y el área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Comprender el área de un trapezoide  5.1.4. Área del paralelogramo  5.1.5. Área de un círculo  5.1.6. Comprensión del área de formas compuestas  5.2. Área de superficie y volumen en medición  5.2.1. Cubo y cuboide  5.2.2. Comprender el área de superficie de los cilindros  5.2.3. Volumen de un prisma y un cilindro  5.2.4. Volumen y área superficial de un cono
  6. Manejo de datos  6.1. Recolección de datos  6.1.1. Organizar los datos  6.1.2. Distribución de frecuencia  6.2. Representación gráfica de datos  6.2.1. Introducción a los Gráficos de Barras  6.2.2. Comprender los gráficos de barras dobles  6.2.3. Entendiendo los gráficos de pastel  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introducción a los gráficos de líneas  6.3. Entendiendo la probabilidad en la gestión de datos  6.3.1. Comprender eventos simples en probabilidad  6.3.2. Probabilidad experimental  6.3.3. Probabilidad teórica
  7. Geometría práctica  7.1. Construcción de triángulos  7.1.1. Construcción de triángulos con longitudes de lados dadas  7.1.2. Construcción de un triángulo con lado y ángulo dados  7.1.3. Construcción de triángulos rectángulos  7.2. Construcción de un cuadrilátero  7.2.1. Dado el largo de los lados y los ángulos de un cuadrilátero  7.2.2. Construcción de paralelogramos y rectángulos

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Leyes de exponentes


Los exponentes se utilizan para mostrar cuántas veces un número se multiplica por sí mismo. Por ejemplo, en la expresión 2^3, el número 2 se multiplica por sí mismo 3 veces: 2 * 2 * 2 es importante entender las reglas de los exponentes porque ayudan a simplificar expresiones y resolver problemas que involucran exponentes.

¿Qué son los exponentes?

El exponente es el número que indica cuántas veces se multiplica un número base por sí mismo. En la expresión a^n, a es la base y n es el exponente. La expresión significa que a se multiplica por sí mismo n veces.

Ejemplo:

3^4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81

Leyes básicas de exponentes

Vamos a ver algunas reglas básicas de los exponentes. Estas reglas son fundamentales para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.

1. Regla del producto de potencias

Al multiplicar dos potencias con la misma base, mantén la base y suma los exponentes. En otras palabras:

a^m * a^n = a^(m+n)

Ejemplo:

2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128

2. Regla del cociente de potencias

Al dividir dos potencias con la misma base, mantén la base y resta los exponentes.

a^m / a^n = a^(m-n)

Ejemplo:

5^5 / 5^3 = 5^(5-3) = 5^2 = 5 * 5 = 25

3. La regla de la potencia de una potencia

Al elevar una potencia a otra potencia, mantén la base y multiplica los exponentes.

(a^m)^n = a^(m*n)

Ejemplo:

(3^2)^3 = 3^(2*3) = 3^6 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 729

4. La regla de la potencia de un producto

Para encontrar la potencia de un producto, distribuye el exponente sobre cada factor dentro del paréntesis.

(ab)^n = a^n * b^n

Ejemplo:

(2 * 3)^2 = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36

5. Regla de la potencia del cociente

Aplica el exponente tanto al numerador como al denominador para encontrar la potencia del cociente.

(a/b)^n = a^n / b^n

Ejemplo:

(4/2)^3 = 4^3 / 2^3 = 64 / 8 = 8

6. Regla del exponente cero

Cualquier base (excepto 0) elevada a la potencia cero es igual a 1.

a^0 = 1

Ejemplo:

7^0 = 1 100^0 = 1

7. Regla del exponente negativo

Los exponentes negativos indican cuántas veces el número tiene que ser dividido. Esto es lo opuesto a multiplicar. En otras palabras:

a^(-n) = 1/a^n

Ejemplo:

2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8

Ejemplo visual

Aquí hay ejemplos visuales usando las reglas de números y exponentes:

Ejemplo de producto de potencias:

2^2 * 2^3 = 2^(2+3) = 2^5 Diagrama: 2^2 = 2 * 2 = 4 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8 Multiplicar: 4 * 8 = 2^5 Cálculos confirman: 2^5 = 32

Ejemplo de un cociente de potencias:

10^4 / 10^2 = 10^(4-2) = 10^2 Diagrama: 10^4 = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000 10^2 = 10 * 10 = 100 Dividir: 10000 / 100 = 10^2 Cálculos confirman: 10^2 = 100

Ejemplo de la potencia de una potencia:

(5^2)^3 = 5^(2*3) = 5^6 Diagrama: 5^2 = 5 * 5 = 25 25 elevado a la potencia 3 (25^3) Cálculos confirman: 5^6 = 15625

Ejemplo de la potencia de un producto:

(3 * 2)^2 = 3^2 * 2^2 Diagrama: 3 * 2 = 6 6 a la potencia de 2 = 36 Diferentes cálculos: 3^2 = 9, 2^2 = 4, y 9 * 4 = 36

Ejemplos adicionales y problemas

Aquí hay algunos ejemplos adicionales para practicar las reglas de los exponentes y entenderlas más profundamente:

Problema de práctica 1:

Simplifica 4^7 * 4^2.

Solución: Usando la regla del producto de potencias: 4^7 * 4^2 = 4^(7+2) = 4^9 = 262144

Problema de práctica 2:

Simplifica 9^5 / 9^3.

Solución: Usando la regla del cociente de potencias: 9^5 / 9^3 = 9^(5-3) = 9^2 = 81

Problema de práctica 3:

Simplifica (6^2)^4.

Solución: Usando la regla de la potencia de potencias: (6^2)^4 = 6^(2*4) = 6^8 = 1679616

Problema de práctica 4:

Simplifica (4 * 7)^2.

Solución: Usando la regla de la potencia del producto: (4 * 7)^2 = 4^2 * 7^2 = 16 * 49 = 784

Problema de práctica 5:

Simplifica (5/3)^3.

Solución: Usando la regla de la potencia del cociente: (5/3)^3 = 5^3 / 3^3 = 125 / 27

Comprendiendo exponentes cero y negativos

Además de las operaciones con exponentes positivos, es importante entender cómo funcionan los exponentes cero y negativos.

Ejemplo de exponente cero:

7^0 = 1 Explicación: Cualquier número no cero elevado a la potencia de 0 da 1. Esta regla surge del patrón observado al dividir números exponenciales: para a^n/a^n = a^(n-n) = a^0 = 1.

Ejemplo de exponente negativo:

3^(-2) = 1/(3^2) Explicación: Los exponentes negativos indican el inverso. Si el exponente de la base es negativo, toma el recíproco de la base y aplica el exponente positivo. En el cálculo, 3^(-2) = 1/9.

Conclusión

Comprender las reglas de los exponentes simplifica muchos procesos matemáticos. Al recordar estas reglas, puedes resolver ecuaciones de manera eficiente, ya sea trabajando con expresiones algebraicas o realizando cálculos prácticos en diversos campos. Practica estos conceptos y reglas para volverte competente en el manejo de exponentes y potencias.


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