Рациональные числа

Рациональные числа являются фундаментальной частью математики, которую вы будете изучать в 7 классе. Они играют жизненно важную роль в понимании того, как работают числа, и вы будете использовать их различными способами для решения математических задач. В этом уроке мы подробно изучим, что такое рациональные числа, как их идентифицировать, как выполнять операции с ними и их свойства. Цель состоит в том, чтобы вы получили прочное понимание рациональных чисел и их важности в числовой системе.

Введение в рациональные числа

Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде частного или дроби двух целых чисел. Проще говоря, рациональное число записывается как p/q, где p и q — целые числа, а q не равно нулю. Целое число p называется числителем, а q — знаменателем.

Например, 1/2, -3/4, 5/1, -2/5 и 6/7 — все это рациональные числа. Даже целые числа, такие как 3, могут считаться рациональными числами, поскольку они могут быть выражены как 3/1.

Визуальные примеры рациональных чисел

Идентификация рациональных чисел

Чтобы определить, является ли число рациональным, необходимо проверить, можно ли его выразить в виде p/q, где q ≠ 0. Рассмотрим несколько примеров для ясности.

1. Число 8 является рациональным, потому что его можно записать как 8/1.
2. Дробь -5/9 уже находится в форме p/q, поэтому это рациональное число.
3. Десятичное число 0.75 можно записать в виде дроби: 75/100 = 3/4. Следовательно, 0.75 рационально.
4. Периодическое десятичное 0.333... можно выразить в виде дроби: 1/3. Следовательно, оно рационально.

Свойства рациональных чисел

Закрытие множества

Рациональные числа замкнуты относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Это означает, что если вы возьмете два рациональных числа и сложите, вычтете, умножите или разделите их (если не делите на ноль), результат также будет рациональным числом.

Пример сложения:
Предположим, a = 2/3 и b = 1/6.
a + b = 2/3 + 1/6 = (4 + 1)/6 = 5/6, что является рациональным числом.

Пример вычитания:
Предположим, a = 7/4 и b = 3/4.
a - b = 7/4 - 3/4 = (7 - 3)/4 = 4/4 = 1, рациональное число.

Пример умножения:
Предположим, a = 5/2 и b = 2/5.
a * b = (5/2) * (2/5) = 10/10 = 1, рациональное число.

Пример деления:
Предположим, a = 3/7 и b = 6/7.
a / b = (3/7) / (6/7) = 3/6 = 1/2, рациональное число.
(Примечание: Деление на ноль не допускается.)

Коммутативное свойство

Рациональные числа коммутативны относительно сложения и умножения. Это означает, что порядок чисел не влияет на сумму или произведение.

Пример сложения:
a + b = b + a
(1/4) + (2/3) = (2/3) + (1/4) = 11/12

Пример умножения:
a * b = b * a

(1/4) * (2/3) = (2/3) * (1/4) = 2/12 = 1/6

Ассоциативное свойство

Рациональные числа подчиняются ассоциативному свойству как для сложения, так и для умножения. Это означает, что способ группировки чисел не влияет на сумму или произведение.

Пример сложения:
(a + b) + c = a + (b + c)
((1/4) + (1/2)) + (3/4) = (1/4) + ((1/2) + (3/4)) = 1.5

Пример умножения:
(a * b) * c = a * (b * c)

((1/4) * (1/2)) * (2/1) = (1/4) * ((1/2) * (2/1)) = 1/4

Дистрибутивное свойство

Дистрибутивное свойство сочетает сложение и умножение, позволяя умножать одно число на группу чисел, сложенных вместе.

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
Пример:

(1/3) * ((3/4) + (2/4)) = (1/3) * (5/4) = (1/3) * (3/4) + (1/3) * (2/4) = 5/12

Операции с рациональными числами

Сложение рациональных чисел

Для сложения рациональных чисел следуйте следующим шагам:

• Найдите общий знаменатель.
• Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с тем же знаменателем.
• Сложите числители, сохраняя знаменатель таким же.
• Если необходимо, упростите дробь.

Пример:
1/3 + 1/4

1. Общий знаменатель — 12.
2. Преобразование: 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12
3. Сложите: 4/12 + 3/12 = 7/12

Вычитание рациональных чисел

Для вычитания рациональных чисел используйте те же шаги, что и для сложения:

• Найдите общий знаменатель.
• Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с тем же знаменателем.
• Вычтите числители и сохраните знаменатель таким же.
• Упростите результат.

Пример:
5/6 - 1/3

1. Общий знаменатель — 6.
2. Преобразование: 1/3 = 2/6
3. Вычтите: 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2

Умножение рациональных чисел

Для умножения рациональных чисел:

• Перемножьте числители, чтобы получить новую дробь.
• Перемножьте знаменатели, чтобы получить новый знаменатель.
• При необходимости упростите дробь.

Пример:
2/5 * 3/4

1. Умножение: 2 * 3 = 6, 5 * 4 = 20
2. Результат: 6/20 = 3/10

Деление рациональных чисел

Для деления рациональных чисел умножьте на обратное значение делителя:

• Перевернуть вторую дробь (обратное значение).
• Умножьте как при умножении дробей.
• При необходимости упростите результат.

Пример:
7/8 ÷ 3/2

1. Обратное значение 3/2 — 2/3.
2. Умножение: 7/8 * 2/3 = 14/24 = 7/12

Десятичное представление рациональных чисел

Рациональные числа также могут быть представлены в виде десятичных дробей. Десятичная форма рационального числа может быть либо конечной, либо периодической.

• Конечная десятичная дробь: Десятичная дробь, имеющая конечное число цифр. Пример: 1/4 = 0.25
• Периодическая десятичная дробь: Десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр повторяются бесконечно. Пример: 1/3 = 0.333...

Сравнение рациональных чисел

При сравнении рациональных чисел преобразуйте их к одинаковому знаменателю, чтобы было проще определить, какое число больше или меньше. В качестве альтернативы преобразуйте их в десятичную форму для удобства сравнения.

Пример:
Сравните 2/3 и 3/4.

1. Общий знаменатель — 12.
2. Преобразование: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12
3. Сравнение: 8/12 < 9/12, следовательно 2/3 < 3/4.

При использовании десятичных дробей сравнивайте числовые значения напрямую.

Упрощение рациональных чисел

Чтобы упростить рациональное число, разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

Пример:
Упростить 8/12.

1. НОД 8 и 12 — 4.
2. Разделите: 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3
3. Упрощенная форма: 8/12 = 2/3

Резюме

Рациональные числа — это числа, которые могут быть выражены в виде дроби двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. Они являются неотъемлемой частью числовой системы и важны во многих математических расчетах и концепциях. Понимание рациональных чисел включает распознавание их свойств, изучение выполнения операций, представление в виде десятичных дробей и их упрощение. С практикой работа с рациональными числами может быть простой и значительно повысит ваши математические навыки.

комментарии