Números racionais

Os números racionais são uma parte fundamental da matemática que você estudará na classe 7. Eles desempenham um papel vital na compreensão de como os números funcionam, e você os usará de várias maneiras para resolver problemas de matemática. Nesta lição, aprenderemos em detalhes o que são números racionais, como identificá-los, como realizar operações sobre eles e suas propriedades. O objetivo é garantir que você obtenha uma compreensão sólida dos números racionais e sua importância no sistema numérico.

Introdução aos números racionais

Um número racional é um número que pode ser expresso como o quociente ou fração de dois inteiros. Simplificando, um número racional é escrito como p/q, onde p e q são inteiros e q não é zero. O inteiro p é conhecido como numerador, e q é conhecido como denominador.

Por exemplo, 1/2, -3/4, 5/1, -2/5 e 6/7 são todos números racionais. Mesmo números inteiros como 3 podem ser considerados números racionais porque podem ser expressos como 3/1.

Exemplos visuais de números racionais

Identificando números racionais

Para identificar se um número é racional ou não, você deve verificar se ele pode ser expresso na forma p/q onde q ≠ 0 Vamos ver alguns exemplos para tornar isso mais claro.

1. O número 8 é racional porque pode ser escrito como 8/1.
2. A fração -5/9 já está na forma p/q, então é um número racional.
3. O decimal 0,75 pode ser escrito como uma fração: 75/100 = 3/4. Portanto, 0,75 é racional.
4. O decimal repetido 0,333... pode ser expresso como fração: 1/3. Portanto, é racional.

Propriedades dos números racionais

Atributos de fechamento

Os números racionais são fechados sob adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero). Isso significa que se você pegar dois números racionais e somar, subtrair, multiplicar ou dividir (a menos que esteja dividindo por zero), o resultado também será um número racional.

Exemplo de adição:
Suponha que a = 2/3 e b = 1/6.
a + b = 2/3 + 1/6 = (4 + 1)/6 = 5/6, que é um número racional.

Exemplo de subtração:
Suponha que a = 7/4 e b = 3/4.
a - b = 7/4 - 3/4 = (7 - 3)/4 = 4/4 = 1, um número racional.

Exemplo de multiplicação:
Suponha que a = 5/2 e b = 2/5.
a * b = (5/2) * (2/5) = 10/10 = 1, um número racional.

Exemplo de divisão:
Suponha que a = 3/7 e b = 6/7.
a / b = (3/7) / (6/7) = 3/6 = 1/2, um número racional.
(Nota: Divisão por zero não é permitida.)

Propriedade comutativa

Os números racionais são comutativos sob adição e multiplicação. Isso significa que a ordem dos números não afeta a soma ou o produto.

Exemplo de adição:
a + b = b + a
(1/4) + (2/3) = (2/3) + (1/4) = 11/12

Exemplo de multiplicação:
a * b = b * a

(1/4) * (2/3) = (2/3) * (1/4) = 2/12 = 1/6

Propriedade associativa

Os números racionais obedecem à propriedade associativa tanto para adição quanto para multiplicação. Isso significa que a maneira como os números são agrupados não altera a soma ou o produto.

Exemplo de adição:
(a + b) + c = a + (b + c)
((1/4) + (1/2)) + (3/4) = (1/4) + ((1/2) + (3/4)) = 1,5

Exemplo de multiplicação:
(a * b) * c = a * (b * c)

((1/4) * (1/2)) * (2/1) = (1/4) * ((1/2) * (2/1)) = 1/4

Propriedade distributiva

A propriedade distributiva combina adição e multiplicação, permitindo que você multiplique um número por um grupo de números somados.

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
Exemplo:

(1/3) * ((3/4) + (2/4)) = (1/3) * (5/4) = (1/3) * (3/4) + (1/3) * (2/4) = 5/12

Operações com números racionais

Adição de números racionais

Para somar números racionais, siga estas etapas:

• Encontre um denominador comum.
• Converta cada fração em uma fração equivalente com o mesmo denominador.
• Adicione os numeradores, mantendo o denominador o mesmo.
• Simplifique a fração, se necessário.

Exemplo:
1/3 + 1/4

1. O denominador comum é 12.
2. Conversão: 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12
3. Adicione: 4/12 + 3/12 = 7/12

Subtração de números racionais

Para subtrair números racionais, use as mesmas etapas da adição:

• Encontre um denominador comum.
• Converta cada fração em uma fração equivalente com o mesmo denominador.
• Subtraia os numeradores e mantenha o denominador o mesmo.
• Simplifique o resultado.

Exemplo:
5/6 - 1/3

1. O denominador comum é 6.
2. Conversão: 1/3 = 2/6
3. Subtraia: 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2

Multiplicação de números racionais

Para multiplicar números racionais:

• Multiplique os numeradores para obter uma nova fração.
• Multiplique os denominadores para obter o novo denominador.
• Simplifique a fração, se necessário.

Exemplo:
2/5 * 3/4

1. Multiplique: 2 * 3 = 6, 5 * 4 = 20
2. Resultado: 6/20 = 3/10

Divisão de números racionais

Para dividir números racionais, multiplique pelo recíproco do divisor:

• Inverta a segunda fração (o recíproco).
• Multiplique como se multiplicassem frações.
• Simplifique o resultado, se necessário.

Exemplo:
7/8 ÷ 3/2

1. O recíproco de 3/2 é 2/3.
2. Multiplique: 7/8 * 2/3 = 14/24 = 7/12

Representação decimal de números racionais

Os números racionais também podem ser representados como decimais. A forma decimal de um número racional pode ser finita ou periódica.

• Decimal finito: Decimal que possui um número finito de dígitos. Exemplo: 1/4 = 0,25
• Decimais periódicos: Decimais onde um ou mais dígitos são repetidos infinitamente. Exemplo: 1/3 = 0,333...

Comparando números racionais

Ao comparar números racionais, converta-os para o mesmo denominador para facilitar a determinação de qual número é maior ou menor. Alternativamente, converta-os para a forma decimal para facilitar a comparação.

Exemplo:
Compare 2/3 e 3/4.

1. O denominador comum é 12.
2. Conversão: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12
3. Compare: 8/12 < 9/12, portanto, 2/3 < 3/4.

Ao usar decimais, compare os valores numéricos diretamente.

Simplificação de números racionais

Para simplificar um número racional, divida o numerador e o denominador pelo seu maior divisor comum (MDC).

Exemplo:
Simplifique 8/12.

1. O MDC de 8 e 12 é 4.
2. Divida: 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3
3. Forma simplificada: 8/12 = 2/3

Resumo

Os números racionais são números que podem ser expressos como uma fração de dois inteiros onde o denominador não é zero. Eles são parte integrante do sistema numérico e são essenciais em muitos cálculos e conceitos matemáticos. Compreender os números racionais envolve reconhecer suas propriedades, aprender a realizar operações, representá-los como decimais e simplificá-los. Com prática, trabalhar com números racionais pode ser simples e será de grande benefício para suas habilidades matemáticas.

Comentários