有理数

有理数は、数学の基本的な部分であり、7年生で学ぶことになります。それらは数がどのように機能するかを理解するために重要な役割を果たし、さまざまな方法で数学の問題を解くために使用します。このレッスンでは、有理数とは何か、どのように識別するか、それらに対してどのように操作を行うか、その特性を詳しく学びます。目的は、有理数とその数体系における重要性をしっかりと理解できるようにすることです。

有理数の紹介

有理数は、2つの整数の分数の商として表現できる数です。簡単に言えば、有理数はp/qとして書かれ、pとqは整数であり、qはゼロではありません。整数pは分子として知られ、qは分母として知られています。

たとえば、1/2、-3/4、5/1、-2/5、および6/7はすべて有理数です。3のような整数も3/1として表現できるため、有理数と考えられます。

有理数の視覚的な例

有理数の識別方法

ある数が有理数であるかどうかを識別するには、それがq ≠ 0である整数pとqの形p/qで表現できるかどうかを確認する必要があります。例を見て、これを明確にしましょう。

1. 数8は8/1として書けるため、有理数です。
2. 分数-5/9はすでにp/qの形式にあるため、有理数です。
3. 小数0.75は分数として書ける: 75/100 = 3/4。したがって、0.75は有理数です。
4. 繰り返し小数0.333...は分数として表せます: 1/3。したがって、それは有理数です。

有理数の性質

閉じた性質

有理数は加算、減算、乗算、および除算（ゼロ以外）に対して閉じています。つまり、2つの有理数を加算、減算、乗算、または除算した場合（ゼロでの除算を除く）、結果もまた有理数になります。

足し算の例:
仮にa = 2/3およびb = 1/6としましょう。
a + b = 2/3 + 1/6 = (4 + 1)/6 = 5/6、これは有理数です。

引き算の例:
仮にa = 7/4およびb = 3/4としましょう。
a - b = 7/4 - 3/4 = (7 - 3)/4 = 4/4 = 1、有理数です。

掛け算の例:
仮にa = 5/2およびb = 2/5としましょう。
a * b = (5/2) * (2/5) = 10/10 = 1、有理数です。

除算の例:
仮にa = 3/7およびb = 6/7としましょう。
a / b = (3/7) / (6/7) = 3/6 = 1/2、有理数です。
（注：ゼロでの除算は許可されていません。）

可換性

有理数は加算と乗算において可換性を持ちます。これは、数の順序が合計または積に影響しないことを意味します。

足し算の例:
a + b = b + a
(1/4) + (2/3) = (2/3) + (1/4) = 11/12

掛け算の例:
a * b = b * a

(1/4) * (2/3) = (2/3) * (1/4) = 2/12 = 1/6

結合性

有理数は加算と乗算について結合性を持ちます。これは、数のグループ化が合計または積に影響を与えないことを意味します。

足し算の例:
(a + b) + c = a + (b + c)
((1/4) + (1/2)) + (3/4) = (1/4) + ((1/2) + (3/4)) = 1.5

掛け算の例:
(a * b) * c = a * (b * c)

((1/4) * (1/2)) * (2/1) = (1/4) * ((1/2) * (2/1)) = 1/4

分配性

分配性は加算と乗算を組み合わせて、一つの数をグループに加えた数に対して乗算することを可能にします。

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
例：

(1/3) * ((3/4) + (2/4)) = (1/3) * (5/4) = (1/3) * (3/4) + (1/3) * (2/4) = 5/12

有理数の演算

有理数の加算

有理数を加算するには、次の手順に従います：

• 共通の分母を見つけます。
• 各分数を同じ分母の等価な分数に変換します。
• 分母を同じに保ちながら分子を加えます。
• 必要に応じて分数を簡略化します。

例：
1/3 + 1/4

1. 共通の分母は12です。
2. 変換：1/3 = 4/12、1/4 = 3/12
3. 加算：4/12 + 3/12 = 7/12

有理数の減算

有理数を減算するには、加算と同じ手順を使用します：

• 共通の分母を見つけます。
• 各分数を同じ分母の等価な分数に変換します。
• 分子を引いて分母を同じに保ちます。
• 結果を簡略化します。

例：
5/6 - 1/3

1. 共通の分母は6です。
2. 変換：1/3 = 2/6
3. 引き算：5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2

有理数の乗算

有理数を乗算するには：

• 分子を掛けて新しい分数を得ます。
• 分母を掛けて新しい分母を得ます。
• 必要に応じて分数を簡略化します。

例：
2/5 * 3/4

1. 掛け算：2 * 3 = 6、5 * 4 = 20
2. 結果：6/20 = 3/10

有理数の除算

有理数を除算するには、除数の逆数を掛けます：

• 2番目の分数を反転させる（逆数）。
• 分数の掛け算を行う。
• 必要に応じて結果を簡略化します。

例：
7/8 ÷ 3/2

1. 3/2の逆数は2/3です。
2. 掛け算：7/8 * 2/3 = 14/24 = 7/12

有理数の小数表示

有理数は小数としても表示できます。有理数の小数形式は有限小数または循環小数になります。

• 有限小数: 有限の桁数を持つ小数。例：1/4 = 0.25
• 循環小数: 一つまたは複数の桁が無限に繰り返される小数。例：1/3 = 0.333...

有理数の比較

有理数を比較するときには、それらを同じ分母に変換し、どの数が大きいか小さいかを判断するのが簡単です。別の方法として、比較のために小数形式に変換することもあります。

例：
2/3と3/4を比較します。

1. 共通の分母は12です。
2. 変換：2/3 = 8/12、3/4 = 9/12
3. 比較：8/12 < 9/12、したがって2/3 < 3/4。

小数を使用する場合は、数値を直接比較します。

有理数の簡略化

有理数を簡略化するには、分子と分母をそれらの最大公約数（GCD）で割ります。

例：
8/12を簡略化します。

1. 8と12のGCDは4です。
2. 割り算：8 ÷ 4 = 2、12 ÷ 4 = 3
3. 簡略化された形式：8/12 = 2/3

まとめ

有理数とは、分母がゼロでない2つの整数の分数として表現できる数です。それらは数体系の不可欠な部分であり、多くの数学的計算や概念において重要です。有理数を理解することは、その特性を認識し、操作を学び、小数として表示し、簡略化することを含みます。練習を重ねることで、有理数を扱うのは簡単になり、数学のスキルに大いに役立ちます。

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