परिमेय संख्याएं

परिमेय संख्याएं गणित का एक मूलभूत हिस्सा हैं जिसे आप कक्षा 7 में अध्ययन करेंगे। ये संख्याएं समझने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं कि संख्याएं कैसे काम करती हैं, और आप उन्हें विभिन्न तरीकों से गणित की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग करेंगे। इस पाठ में, हम विस्तार से जानेंगे कि परिमेय संख्याएं क्या हैं, उन्हें कैसे पहचानें, उन पर कैसे क्रियाएं करें, और उनके गुण क्या हैं। लक्ष्य यह सुनिश्चित करना है कि आप परिमेय संख्याओं और संख्या प्रणाली में उनकी महत्ता की ठोस समझ प्राप्त करें।

परिमेय संख्याओं का परिचय

एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के भिन्न या अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। बस कहें, एक परिमेय संख्या p/q के रूप में लिखी जाती है, जहां p और q पूर्णांक होते हैं और q शून्य नहीं होता है। पूर्णांक p को अंश के रूप में जाना जाता है, और q को हर के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, 1/2, -3/4, 5/1, -2/5, और 6/7 सभी परिमेय संख्याएं हैं। यहां तक कि पूर्णांक जैसे 3 भी परिमेय संख्या मानी जा सकती हैं क्योंकि इन्हें 3/1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के दृश्य उदाहरण

परिमेय संख्याओं की पहचान

यह निर्धारित करने के लिए कि कोई संख्या परिमेय है या नहीं, आपको यह जांचना चाहिए कि क्या इसे p/q रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां q ≠ 0 कुछ उदाहरण देखें ताकि इसे और स्पष्ट किया जा सके।

1. संख्या 8 परिमेय है क्योंकि इसे 8/1 के रूप में लिखा जा सकता है।
2. भिन्न -5/9 पहले ही से p/q रूप में है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
3. दशमलव 0.75 एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: 75/100 = 3/4. इसलिए, 0.75 परिमेय है।
4. आवर्ती दशमलव 0.333... एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: 1/3. इसलिए, यह परिमेय है।

परिमेय संख्याओं के गुण

बंद गुण

परिमेय संख्याएं जोड़, घटाव, गुणा, और भाग (शून्य के अलावा) के अंतर्गत बंद होती हैं। इसका मतलब है कि यदि आप दो परिमेय संख्याएं लेते हैं और उन्हें जोड़ते, घटाते, गुणते, या भाग करते (जब तक कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर रहे) हैं, परिणाम भी एक परिमेय संख्या होगी।

जोड़ का उदाहरण:
मान लीजिए a = 2/3 और b = 1/6.
a + b = 2/3 + 1/6 = (4 + 1)/6 = 5/6, जो कि एक परिमेय संख्या है।

घटाव का उदाहरण:
मान लीजिए a = 7/4 और b = 3/4.
a - b = 7/4 - 3/4 = (7 - 3)/4 = 4/4 = 1, एक परिमेय संख्या।

गुणा का उदाहरण:
मान लीजिए a = 5/2 और b = 2/5.
a * b = (5/2) * (2/5) = 10/10 = 1, एक परिमेय संख्या।

विभाजन का उदाहरण:
मान लीजिए a = 3/7 और b = 6/7.
a / b = (3/7) / (6/7) = 3/6 = 1/2, एक परिमेय संख्या।
(नोट: शून्य से विभाजन की अनुमति नहीं है।)

परिवर्तनीयता गुण

परिमेय संख्याएं जोड़ और गुणा के अंतर्गत परिवर्तनशील होती हैं। इसका मतलब है कि संख्या के क्रम का योग या गुणनफल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

जोड़ का उदाहरण:
a + b = b + a
(1/4) + (2/3) = (2/3) + (1/4) = 11/12

गुणा का उदाहरण:
a * b = b * a

(1/4) * (2/3) = (2/3) * (1/4) = 2/12 = 1/6

सहयोगी गुण

परिमेय संख्याएं जोड़ और गुणा के लिए सहयोगी गुण का पालन करती हैं। इसका मतलब है कि संख्याओं को समूहित करने का तरीका योग या गुणा को बदलता नहीं है।

जोड़ का उदाहरण:
(a + b) + c = a + (b + c)
((1/4) + (1/2)) + (3/4) = (1/4) + ((1/2) + (3/4)) = 1.5

गुणा का उदाहरण:
(a * b) * c = a * (b * c)

((1/4) * (1/2)) * (2/1) = (1/4) * ((1/2) * (2/1)) = 1/4

वितरणीयता गुण

वितरणीयता गुण जोड़ और गुणा को संयोजित करता है, जिससे आप एक संख्या को एक समूह की संख्याओं से गुणा कर सकते हैं।

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
उदाहरण:

(1/3) * ((3/4) + (2/4)) = (1/3) * (5/4) = (1/3) * (3/4) + (1/3) * (2/4) = 5/12

परिमेय संख्याओं पर क्रियाएं

परिमेय संख्याओं का जोड़

परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

• एक समान हर खोजें।
• प्रत्येक भिन्न को समान हर के साथ एक समकक्ष भिन्न में परिवर्तित करें।
• हर को समान रखते हुए अंश को जोड़ें।
• यदि आवश्यक हो, तो भिन्न को सरल बनाएं।

उदाहरण:
1/3 + 1/4

1. समान हर 12 है।
2. रूपांतरण: 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12
3. जोड़ें: 4/12 + 3/12 = 7/12

परिमेय संख्याओं का घटाना

परिमेय संख्याओं को घटाने के लिए, जोड़ के समान चरणों का प्रयोग करें:

• एक समान हर खोजें।
• प्रत्येक भिन्न को समान हर के साथ एक समकक्ष भिन्न में परिवर्तित करें।
• अंश को घटाएं और हर को वही रखें।
• परिणाम को सरल करें।

उदाहरण:
5/6 - 1/3

1. समान हर 6 है।
2. रूपांतरण: 1/3 = 2/6
3. घटाएं: 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2

परिमेय संख्याओं का गुणा

परिमेय संख्याओं को गुणा करने के लिए:

• नए भिन्न के लिए अंश को गुणा करें।
• नए हर के लिए हर को गुणा करें।
• यदि आवश्यक हो, तो भिन्न को सरल बनाएं।

उदाहरण:
2/5 * 3/4

1. गुणा करें: 2 * 3 = 6, 5 * 4 = 20
2. परिणाम: 6/20 = 3/10

परिमेय संख्याओं का विभाजन

परिमेय संख्याओं का भाग करने के लिए, विभाजक के व्युत्क्रम से गुणा करें:

• दूसरे भिन्न को उलटें (व्युत्क्रम)।
• भिन्नों की तरह गुणा करें।
• यदि आवश्यक हो, तो परिणाम को सरल बनाएं।

उदाहरण:
7/8 ÷ 3/2

1. 3/2 का व्युत्क्रम 2/3 है।
2. गुणा करें: 7/8 * 2/3 = 14/24 = 7/12

परिमेय संख्याओं का दशमलव रूप

परिमेय संख्याओं को दशमलव के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। परिमेय संख्या का दशमलव रूप या तो समाप्त होता है या आवर्ती होता है।

• अवसान दशमलव: दशमलव जो एक निश्चित संख्या में अंकों का होता है। उदाहरण: 1/4 = 0.25
• आवर्ती दशमलव: दशमलव जहां एक या अधिक अंक अनंत संख्या में बार-बार आते हैं। उदाहरण: 1/3 = 0.333...

परिमेय संख्याओं की तुलना करना

जब परिमेय संख्याओं की तुलना करनी हो, तो उन्हें उसी हर में परिवर्तित करें ताकि यह पता लगाना आसान हो कि कौन सी संख्या बड़ी या छोटी है। वैकल्पिक रूप से, तुलना की आसानी के लिए उन्हें दशमलव रूप में परिवर्तित करें।

उदाहरण:
तुलना करें 2/3 और 3/4।

1. समान हर 12 है।
2. रूपांतरण: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12
3. तुलना करें: 8/12 < 9/12, इसलिए 2/3 < 3/4।

जब दशमलव का उपयोग होता है, तो संख्यात्मक मानों की सीधे तुलना करें।

परिमेय संख्याओं का सरलीकरण

एक परिमेय संख्या को सरल बनाने के लिए, अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से भाग दें।

उदाहरण:
सरल करें 8/12।

1. 8 और 12 का GCD 4 है।
2. भाग दें: 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3
3. सरल रूप: 8/12 = 2/3

सारांश

परिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां हर शून्य नहीं होता है। वे संख्या प्रणाली का अभिन्न हिस्सा हैं और कई गणितीय गणनाओं और अवधारणाओं में आवश्यक हैं। परिमेय संख्याओं को समझने में उनके गुणों को पहचानना, कार्रवाइयों को सीखना, उन्हें दशमलव के रूप में प्रस्तुत करना, और उन्हें सरलीकरण करना शामिल है। अभ्यास के साथ, परिमेय संख्याओं के साथ काम करना सरल हो सकता है और आपकी गणितीय कौशलों में बहुत लाभदायक होगा।

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