Números racionales

Los números racionales son una parte fundamental de las matemáticas que estudiarás en la Clase 7. Desempeñan un papel vital en la comprensión de cómo funcionan los números y los utilizarás de varias maneras para resolver problemas matemáticos. En esta lección, aprenderemos en detalle qué son los números racionales, cómo identificarlos, cómo realizar operaciones con ellos y sus propiedades. El objetivo es asegurarse de que obtengas una comprensión sólida de los números racionales y su importancia en el sistema numérico.

Introducción a los números racionales

Un número racional es un número que puede expresarse como el cociente o fracción de dos enteros. En pocas palabras, un número racional se escribe como p/q, donde p y q son enteros y q no es cero. El entero p se conoce como el numerador y q se conoce como el denominador.

Por ejemplo, 1/2, -3/4, 5/1, -2/5 y 6/7 son todos números racionales. Incluso los números enteros como 3 pueden considerarse números racionales porque pueden expresarse como 3/1.

Ejemplos visuales de números racionales

Identificación de números racionales

Para identificar si un número es racional o no, debes verificar si puede expresarse en la forma p/q donde q ≠ 0. Veamos algunos ejemplos para aclarar esto más.

1. El número 8 es racional porque puede escribirse como 8/1.
2. La fracción -5/9 ya está en la forma p/q, por lo que es un número racional.
3. El decimal 0.75 puede escribirse como una fracción: 75/100 = 3/4. Por lo tanto, 0.75 es racional.
4. El decimal periódico 0.333... puede expresarse como una fracción: 1/3. Por lo tanto, es racional.

Propiedades de los números racionales

Cierre de activos

Los números racionales están cerrados bajo la adición, sustracción, multiplicación y división (excepto por cero). Esto significa que si tomas dos números racionales y los sumas, restas, multiplicas o divides (a menos que estés dividiendo por cero), el resultado será también un número racional.

Ejemplo de suma:
Supongamos a = 2/3 y b = 1/6.
a + b = 2/3 + 1/6 = (4 + 1)/6 = 5/6, que es un número racional.

Ejemplo de sustracción:
Supongamos a = 7/4 y b = 3/4.
a - b = 7/4 - 3/4 = (7 - 3)/4 = 4/4 = 1, un número racional.

Ejemplo de multiplicación:
Supongamos a = 5/2 y b = 2/5.
a * b = (5/2) * (2/5) = 10/10 = 1, un número racional.

Ejemplo de división:
Supongamos a = 3/7 y b = 6/7.
a / b = (3/7) / (6/7) = 3/6 = 1/2, un número racional.
(Nota: No se permite la división por cero.)

Propiedad conmutativa

Los números racionales son conmutativos bajo la adición y multiplicación. Esto significa que el orden de los números no afecta la suma ni el producto.

Ejemplo de suma:
a + b = b + a
(1/4) + (2/3) = (2/3) + (1/4) = 11/12

Ejemplo de multiplicación:
a * b = b * a

(1/4) * (2/3) = (2/3) * (1/4) = 2/12 = 1/6

Propiedad asociativa

Los números racionales obedecen la propiedad asociativa tanto para la adición como para la multiplicación. Esto significa que la forma en que se agrupan los números no cambia la suma ni el producto.

Ejemplo de suma:
(a + b) + c = a + (b + c)
((1/4) + (1/2)) + (3/4) = (1/4) + ((1/2) + (3/4)) = 1.5

Ejemplo de multiplicación:
(a * b) * c = a * (b * c)

((1/4) * (1/2)) * (2/1) = (1/4) * ((1/2) * (2/1)) = 1/4

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva combina la adición y la multiplicación, lo que te permite multiplicar un número por un grupo de números sumados juntos.

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
Ejemplo:

(1/3) * ((3/4) + (2/4)) = (1/3) * (5/4) = (1/3) * (3/4) + (1/3) * (2/4) = 5/12

Operaciones con números racionales

Suma de números racionales

Para sumar números racionales, sigue estos pasos:

• Encuentra un denominador común.
• Convierte cada fracción en una fracción equivalente con el mismo denominador.
• Suma los numeradores, manteniendo el denominador igual.
• Simplifica la fracción si es necesario.

Ejemplo:
1/3 + 1/4

1. El denominador común es 12.
2. Conversión: 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12
3. Suma: 4/12 + 3/12 = 7/12

Resta de números racionales

Para restar números racionales, utiliza los mismos pasos que para la suma:

• Encuentra un denominador común.
• Convierte cada fracción en una fracción equivalente con el mismo denominador.
• Resta los numeradores y mantén el denominador igual.
• Simplifica el resultado.

Ejemplo:
5/6 - 1/3

1. El denominador común es 6.
2. Conversión: 1/3 = 2/6
3. Resta: 5/6 - 2/6 = 3/6 = 1/2

Multiplicación de números racionales

Para multiplicar números racionales:

• Multiplica los numeradores para obtener una nueva fracción.
• Multiplica los denominadores para obtener el nuevo denominador.
• Simplifica la fracción si es necesario.

Ejemplo:
2/5 * 3/4

1. Multiplica: 2 * 3 = 6, 5 * 4 = 20
2. Resultado: 6/20 = 3/10

División de números racionales

Para dividir números racionales, multiplica por el recíproco del divisor:

• Invierte la segunda fracción (el recíproco).
• Multiplica como si multiplicaras fracciones.
• Simplifica el resultado si es necesario.

Ejemplo:
7/8 ÷ 3/2

1. El recíproco de 3/2 es 2/3.
2. Multiplica: 7/8 * 2/3 = 14/24 = 7/12

Representación decimal de los números racionales

Los números racionales también pueden representarse como decimales. La forma decimal de un número racional puede ser tanto finita como periódica.

• Decimal finito: Decimal que tiene un número finito de dígitos. Ejemplo: 1/4 = 0.25
• Decimales periódicos: Decimales donde uno o más dígitos se repiten un número infinito de veces. Ejemplo: 1/3 = 0.333...

Comparación de números racionales

Al comparar números racionales, conviértelos al mismo denominador para que sea más fácil determinar cuál número es mayor o menor. Alternativamente, conviértelos a forma decimal para facilitar la comparación.

Ejemplo:
Compara 2/3 y 3/4.

1. El denominador común es 12.
2. Conversión: 2/3 = 8/12, 3/4 = 9/12
3. Compara: 8/12 < 9/12, por lo tanto 2/3 < 3/4.

Al usar decimales, compara los valores numéricos directamente.

Simplificación de números racionales

Para simplificar un número racional, divide el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD).

Ejemplo:
Simplifica 8/12.

1. El MCD de 8 y 12 es 4.
2. Divide: 8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3
3. Forma simplificada: 8/12 = 2/3

Resumen

Los números racionales son números que pueden expresarse como una fracción de dos enteros donde el denominador no es cero. Son una parte integral del sistema numérico y son esenciales en muchos cálculos y conceptos matemáticos. Comprender los números racionales implica reconocer sus propiedades, aprender cómo realizar operaciones, representarlos como decimales y simplificarlos. Con práctica, trabajar con números racionales puede ser simple y beneficiará enormemente tus habilidades matemáticas.

Comentarios