有理数の演算

有理数は、2つの整数を分子と分母として表現できる数です。分子は整数であり、分母はゼロ以外の整数です。有理数の例としては、1/2 や -3/4 といった分数があり、また全体の数も、分母を1として表現できるため有理数とされます。本書では、有理数に対して行うことができる様々な演算、すなわち加算、減算、乗算、および除算について探っていきます。

有理数の加算

2つの有理数を加算するには、それらが同じ分母を持っていなければなりません。異なる場合は、分母の最小公倍数 (LCM) を求めて共通の分母を見つける必要があります。そして、分母を同じにした同等の分数に変換してから分子を加えます。

例

これらの有理数を足してみましょう:1/4 + 2/8.

まず、共通の分母を見つけます。4 と 8 の最小公倍数は 8 です。
1/4 を分母 8 の等価な分数に変換します：
1/4 = (1×2)/(4×2) = 2/8.
次に 2/8 + 2/8 を加えます：
分数：2 + 2 = 4.
結果の分数：4/8, これは 1/2 に簡単化されます。

有理数の減算

減算も加算と似ています。まず、有理数が同じ分母を持っていることを確認します。それから、分子を引き、分母を同じままに保ちます。

例

これを引き算してみましょう: 3/5 - 1/10

まず、共通の分母を見つけます。5 と 10 の最小公倍数は 10 です。
3/5 を分母 10 の等価な分数に変換します：
3/5 = (3×2)/(5×2) = 6/10.
次に、6/10 - 1/10 を引きます：
分数：6 - 1 = 5.
結果の分数：5/10, これは 1/2 に簡単化されます。

有理数の乗算

2つの有理数を乗算するには、分子同士を掛け、分母同士を掛けます。可能であれば結果を簡単化します。

例

これを掛け算してみましょう: 2/3 × 4/5.

分数を掛けます: 2 × 4 = 8.
分母を掛けます: 3 × 5 = 15.
結果の分数：8/15 (すでに最簡形式です)。

有理数の除算

有理数で割り算をするには、逆数を掛けます。分数の逆数は、分子と分母を入れ替えることで得られます。

例

これを割り算してみましょう: 3/4 ÷ 2/3.

割り算をするには、2/3 の逆数 3/2 を掛けます。
3/4 × 3/2 を掛けます：
分数：3 × 3 = 9.
分母：4 × 2 = 8.
結果の分数：9/8

結論

有理数を扱うことは、加算、減算、乗算、除算といった算術演算を理解する上での基本概念です。これらの操作のすべてにおける重要なステップは、加算や減算の際に共通の分母を持つことを確認し、除算の際に逆数を知ることです。簡単な分数を使って練習することで、これらの概念を強化し、数的流暢さを向上させることができます。

これらの演算を理解した今、あなた自身で問題を解いて、学んだことを強化してみてください！

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