有理数的性质

有理数是可以表示为分数p/q的数，其中p和q是整数且q ≠ 0。在本指南中，我们将讨论有理数的各种性质，这些性质有助于组织和高效地执行数学运算。这些性质包括：

• 封闭性
• 交换性
• 结合性
• 分配性
• 恒等性
• 逆元性

封闭性

封闭性指出，任何两个有理数的和、差以及积始终是一个有理数。

加法

假设你有两个有理数a/b和c/d。它们的和为：

(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd

这里，ad + bc和bd也是整数，并且由于bd ≠ 0，结果是一个有理数。

(2/3) + (4/5) = (2*5 + 4*3) / (3*5) = (10 + 12) / 15 = 22/15

减法

对于减法，类似于加法，如果你从c/d中减去a/b，你得到：

(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd

由于ad - bc和bd是整数，并且bd ≠ 0，所以这也是一个有理数。

(5/6) - (7/8) = (5*8 - 7*6) / (6*8) = (40 - 42) / 48 = -2/48 = -1/24

乘法

在乘法中，两个有理数a/b和c/d的乘积是：

(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)

由于ac和bd都是整数并且bd ≠ 0，结果是一个有理数。

(3/4) * (2/5) = (3*2) / (4*5) = 6/20 = 3/10

交换性

交换性指出，加法或乘法中两个有理数的顺序不会影响结果。

加法

对于加法，a/b + c/d = c/d + a/b。和保持不变。

(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6

(1/3) + (1/2) = (2/6) + (3/6) = 5/6

乘法

对于乘法，a/b * c/d = c/d * a/b。积保持不变。

(2/3) * (4/5) = (8/15)

(4/5) * (2/3) = (8/15)

结合性

结合性指出，有理数在加法或乘法中如何分组不会改变它们的和或积。

加法

加法时，(a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)

((1/4) + (1/5)) + (1/6) = (9/20) + (1/6) = 29/60

(1/4) + ((1/5) + (1/6)) = (1/4) + (11/30) = 29/60

乘法

乘法时，(a/b * c/d) * e/f = a/b * (c/d * e/f)

((2/3) * (3/4)) * (4/5) = (1/2) * (4/5) = 2/5

(2/3) * ((3/4) * (4/5)) = (2/3) * (1/5) = 2/15

分配性

分配性连接了乘法和加法，表明将一个数乘以一组数的和，等同于分别进行每次乘法。

公式为a/b * (c/d + e/f) = a/b * c/d + a/b * e/f。

(2/3) * ((3/4) + (5/6)) = (2/3) * (19/12) = 38/36 = 19/18

(2/3) * (3/4) + (2/3) * (5/6) = 1/2 + 5/9 = 19/18

恒等性

恒等性明确指出，如果一个有理数加上或乘以某一数，其值不变。

加法

加法的恒等数是0 因此，a/b + 0 = a/b。

(7/8) + 0 = 7/8

乘法

乘法的恒等数是1 因此，a/b * 1 = a/b。

(9/10) * 1 = 9/10

逆元性

对于每个有理数，都存在一个逆有理数，它使运算结果达到恒等值。

加法逆元

a/b的加法逆元是-a/b，因为a/b + (-a/b) = 0。

(5/7) + (-5/7) = 0

乘法逆元

a/b的乘法逆元（或逆元）是b/a，因为(a/b) * (b/a) = 1。

(3/4) * (4/3) = 1

理解这些有理数的性质可以帮助轻松解决问题，并确保计算正确。当在涉及有理数的任务中积极应用这些性质时，数学将变得更简单。请在足够多的例子中练习这些性质，以获得熟练。

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