Класс 7
  1. Система чисел  1.1. Целые числа  1.1.1. Свойства целых чисел  1.1.2. Операции с целыми числами  1.1.3. Аддитивные и мультипликативные обратные  1.1.4. Применение целых чисел  1.2. Рациональные числа  1.2.1. Определение рациональных чисел  1.2.2. Свойства рациональных чисел  1.2.3. Операции с рациональными числами  1.2.4. Стандартная форма рациональных чисел  1.3. Понимание десятичных дробей в числовой системе  1.3.1. Операции с десятичными числами  1.3.2. Понимание дробей и десятичных дробей  1.4. Степени и показатели степени  1.4.1. Законы степени  1.4.2. Упрощение выражений со степенями  1.4.3. Понимание научной нотации  1.5. Корни  1.5.1. Квадратный корень  1.5.2. Кубический корень
  2. Алгебра  2.1. Выражения в алгебре  2.1.1. Введение в алгебраические выражения  2.1.2. Упрощение выражений  2.1.3. Оценка выражения  2.2. Введение в линейные уравнения  2.2.1. Решение простых уравнений  2.2.2. Применение линейных уравнений  2.3. Алгебраические тождества  2.3.1. Расширение с использованием идентичностей  2.3.2. Упрощение с использованием тождеств
  3. Отношение и пропорция  3.1. Понимание соотношений  3.1.1. Понимание отношений  3.1.2. Понимание упрощения отношений  3.1.3. Эквивалентное соотношение  3.2. Понимание пропорции в математике  3.2.1. Концепция пропорции  3.2.2. Прямая пропорция  3.2.3. Понимание обратной пропорции  3.3. Понимание метода единичного значения  3.3.1. Решение задач с помощью метода единства
  4. Геометрия  4.1. Линии и углы  4.1.1. Типы углов  4.1.2. Пары углов  4.1.3. Свойства параллельных линий и секущей  4.1.4. Введение в биссектрисы углов  4.2. Понимание треугольников в геометрии  4.2.1. Типы треугольников  4.2.2. Свойство суммы углов  4.2.3. Введение в свойства внешнего угла  4.2.4. Теорема Пифагора  4.3. Понимание конгруэнтности треугольников  4.3.1. Критерии соответствия  4.3.2. Применение конгруэнтности  4.4. Четырехугольник  4.4.1. Типы четырехугольников  4.4.2. Свойства параллелограмма  4.4.3. Специальные четырехугольники  4.4.4. Свойства прямоугольников и ромбов
  5. Геометрические измерения  5.1. Понимание периметра и площади  5.1.1. Периметр плоских фигур  5.1.2. Площадь плоских фигур  5.1.3. Понимание площади трапеции  5.1.4. Площадь параллелограмма  5.1.5. Площадь круга  5.1.6. Понимание площади составных фигур  5.2. Площадь поверхности и объем в измерении  5.2.1. Куб и прямоугольный параллелепипед  5.2.2. Понимание площади поверхности цилиндров  5.2.3. Объем призмы и цилиндра  5.2.4. Объем и площадь поверхности конуса
  6. Обработка данных  6.1. Сбор данных  6.1.1. Организация данных  6.1.2. Распределение частот  6.2. Графическое представление данных  6.2.1. Введение в столбчатые диаграммы  6.2.2. Понимание двойных столбчатых диаграмм  6.2.3. Понимание круговых диаграмм  6.2.4. Гистограмма  6.2.5. Введение в линейные графики  6.3. Понимание вероятности в управлении данными  6.3.1. Понимание простых событий в теории вероятностей  6.3.2. Экспериментальная вероятность  6.3.3. Теоретическая вероятность
  7. Практическая геометрия  7.1. Построение треугольников  7.1.1. Построение треугольников с заданными длинами сторон  7.1.2. Построение треугольника с заданной стороной и углом  7.1.3. Построение прямоугольных треугольников  7.2. Построение четырёхугольника  7.2.1. Даны длины сторон и углы четырехугольника  7.2.2. Построение параллелограмма и прямоугольника

Класс 7 → Система чисел → Рациональные числа ↓


Свойства рациональных чисел


Рациональные числа — это числа, которые можно выразить в виде дроби p/q, где p и q — целые числа и q ≠ 0. В этом руководстве мы рассмотрим различные свойства рациональных чисел, которые помогают организовать и эффективно выполнять математические операции. Эти свойства включают:

  • Замкнутость
  • Коммутативное свойство
  • Ассоциативное свойство
  • Дистрибутивное свойство
  • Свойство идентичности
  • Свойство обратности

Замкнутость

Свойство замкнутости утверждает, что сумма, разность и произведение любых двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Сложение

Предположим, что у вас есть два рациональных числа a/b и c/d. Их сумма:

(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd

Здесь ad + bc и bd также являются целыми числами, и поскольку bd ≠ 0, результат является рациональным числом.

Пример: Сложите 2/3 и 4/5.

(2/3) + (4/5) = (2*5 + 4*3) / (3*5) = (10 + 12) / 15 = 22/15

Результат 22/15 также является рациональным числом.

Вычитание

Для вычитания, аналогично сложению, если вычесть a/b из c/d, вы получите:

(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd

Так как ad - bc и bd являются целыми числами и bd ≠ 0, это также является рациональным числом.

Пример: Вычесть 7/8 из 5/6.

(5/6) - (7/8) = (5*8 - 7*6) / (6*8) = (40 - 42) / 48 = -2/48 = -1/24

Результат -1/24 является рациональным числом.

Умножение

При умножении произведение двух рациональных чисел a/b и c/d равно:

(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)

Так как ac и bd являются целыми числами и bd ≠ 0, результат является рациональным числом.

Пример: Умножить 3/4 на 2/5.

(3/4) * (2/5) = (3*2) / (4*5) = 6/20 = 3/10

Результат 3/10 также является рациональным числом.

Коммутативное свойство

Коммутативное свойство утверждает, что порядок сложения или умножения двух рациональных чисел не влияет на результат.

Сложение

Для сложения a/b + c/d = c/d + a/b. Сумма остается неизменной.

Пример: Использование 1/2 + 1/3 будет 1/3 + 1/2.

(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6
(1/3) + (1/2) = (2/6) + (3/6) = 5/6

В обеих последовательностях результат 5/6, что демонстрирует коммутативное свойство.

Умножение

Для умножения a/b * c/d = c/d * a/b. Произведение остается неизменным.

Пример: Использование 2/3 * 4/5 равно 4/5 * 2/3.

(2/3) * (4/5) = (8/15)
(4/5) * (2/3) = (8/15)

В обеих последовательностях результат 8/15, что соответствует коммутативному свойству.

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство утверждает, что способ группировки рациональных чисел при сложении или умножении не изменяет их сумму или произведение.

Сложение

При сложении (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)

Пример: Сложите 1/4 + 1/5 + 1/6 с разными группами.

((1/4) + (1/5)) + (1/6) = (9/20) + (1/6) = 29/60
(1/4) + ((1/5) + (1/6)) = (1/4) + (11/30) = 29/60

Общая сумма двух групп равна 29/60.

Умножение

Для умножения (a/b * c/d) * e/f = a/b * (c/d * e/f)

Пример: Перемножьте 2/3 * 3/4 * 4/5 с использованием различных групп.

((2/3) * (3/4)) * (4/5) = (1/2) * (4/5) = 2/5
(2/3) * ((3/4) * (4/5)) = (2/3) * (1/5) = 2/15

Обратите внимание, что хотя промежуточные результаты меняются при перестановке, это свойство остается в силе для всего выражения.

Дистрибутивное свойство

Дистрибутивное свойство связывает умножение и сложение, показывая, что умножение числа на группу сложенных чисел равно по отдельности произведениям на каждое из них.

Формула: a/b * (c/d + e/f) = a/b * c/d + a/b * e/f.

Пример: Демонстрация дистрибутивного свойства с использованием 2/3 и (3/4 + 5/6).

(2/3) * ((3/4) + (5/6)) = (2/3) * (19/12) = 38/36 = 19/18
(2/3) * (3/4) + (2/3) * (5/6) = 1/2 + 5/9 = 19/18

Оба метода дают одинаковые результаты, что подтверждает дистрибутивное свойство.

Свойство идентичности

Свойство идентичности ясно показывает, что значение рационального числа не изменится, если его добавить или умножить на определенное число.

Сложение

Число идентичности для суммы равно 0. Таким образом, a/b + 0 = a/b.

Пример: Добавить 0 к 7/8.

(7/8) + 0 = 7/8

Умножение

Число идентичности для умножения равно 1. Таким образом, a/b * 1 = a/b.

Пример: Умножьте 1 на 9/10.

(9/10) * 1 = 9/10

Свойство обратности

Для каждого рационального числа существует другое рациональное число, которое является его обратным, приводя результат операции к идентификационному значению.

Аддитивная обратность

Аддитивная обратность a/b это -a/b, потому что a/b + (-a/b) = 0.

Пример: Найдите аддитивную обратность 5/7.

(5/7) + (-5/7) = 0

Мультипликативная обратность

Мультипликативная обратность (или обратная величина) a/b это b/a, потому что (a/b) * (b/a) = 1.

Пример: Найдите мультипликативную обратность 3/4.

(3/4) * (4/3) = 1

Понимание этих свойств рациональных чисел поможет решать задачи легко и гарантировать правильность расчетов. Когда эти свойства активно применяются в задачах, связанных с рациональными числами, математика становится менее сложной. Продолжайте практиковать эти свойства с достаточным количеством примеров для достижения навыков.


Класс 7 → 1.2.2


U
username
0%
завершено в Класс 7

← предыдущая (1.2.1)
Определение рациональных чисел
следующая (1.2.3) →
Операции с рациональными числами

комментарии 



Свойства рациональных чисел

https://www.buddymath.com/g7/1.2.2?bmal=ru