Propriedades dos números racionais

Números racionais são números que podem ser expressos como uma fração p/q onde p e q são números inteiros e q ≠ 0. Neste guia, vamos discutir várias propriedades dos números racionais que ajudam a organizar e realizar operações matemáticas de maneira eficiente. Estas propriedades incluem:

• Propriedade de fechamento
• Propriedade comutativa
• Propriedade associativa
• Propriedade distributiva
• Propriedade da identidade
• Propriedade do inverso

Propriedade de fechamento

A propriedade de fechamento afirma que a soma, a diferença e o produto de quaisquer dois números racionais é sempre um número racional.

Soma

Suponha que você tenha dois números racionais a/b e c/d. A soma deles é:

(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd

Aqui, ad + bc e bd também são inteiros, e como bd ≠ 0, o resultado é um número racional.

(2/3) + (4/5) = (2*5 + 4*3) / (3*5) = (10 + 12) / 15 = 22/15

Subtração

Para a subtração, semelhante à adição, se você subtrair a/b de c/d, obterá:

(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd

Como ad - bc e bd são inteiros, e bd ≠ 0, este também é um número racional.

(5/6) - (7/8) = (5*8 - 7*6) / (6*8) = (40 - 42) / 48 = -2/48 = -1/24

Multiplicação

Na multiplicação, o produto de dois números racionais a/b e c/d é:

(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)

Como ac e bd são ambos inteiros e bd ≠ 0, o resultado é um número racional.

(3/4) * (2/5) = (3*2) / (4*5) = 6/20 = 3/10

Propriedade comutativa

A propriedade comutativa afirma que a ordem de adição ou multiplicação de dois números racionais não afeta o resultado.

Soma

Para adição, a/b + c/d = c/d + a/b. A soma permanece inalterada.

(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6

(1/3) + (1/2) = (2/6) + (3/6) = 5/6

Multiplicação

Para multiplicação, a/b * c/d = c/d * a/b. O produto permanece inalterado.

(2/3) * (4/5) = (8/15)

(4/5) * (2/3) = (8/15)

Propriedade associativa

A propriedade associativa afirma que a maneira como os números racionais são agrupados na adição ou multiplicação não altera seu valor total ou produto.

Soma

Ao adicionar, (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)

((1/4) + (1/5)) + (1/6) = (9/20) + (1/6) = 29/60

(1/4) + ((1/5) + (1/6)) = (1/4) + (11/30) = 29/60

Multiplicação

Para multiplicação, (a/b * c/d) * e/f = a/b * (c/d * e/f)

((2/3) * (3/4)) * (4/5) = (1/2) * (4/5) = 2/5

(2/3) * ((3/4) * (4/5)) = (2/3) * (1/5) = 2/15

Propriedade distributiva

A propriedade distributiva conecta multiplicação e adição, mostrando que multiplicar um número por um grupo de números somados é o mesmo que fazer cada multiplicação separadamente.

Como fórmula, a/b * (c/d + e/f) = a/b * c/d + a/b * e/f.

(2/3) * ((3/4) + (5/6)) = (2/3) * (19/12) = 38/36 = 19/18

(2/3) * (3/4) + (2/3) * (5/6) = 1/2 + 5/9 = 19/18

Propriedade da identidade

A propriedade da identidade deixa claro que o valor de um número racional não mudará se for somado ou multiplicado por um determinado número.

Soma

O número identidade para somar é 0 Portanto, a/b + 0 = a/b.

(7/8) + 0 = 7/8

Multiplicação

O número identidade para multiplicação é 1 Portanto, a/b * 1 = a/b.

(9/10) * 1 = 9/10

Propriedade do inverso

Para cada número racional, existe outro número racional que é seu inverso, o que transforma o resultado da operação no valor de identidade.

Inverso aditivo

O inverso aditivo de a/b é -a/b porque a/b + (-a/b) = 0.

(5/7) + (-5/7) = 0

Inverso multiplicativo

O inverso multiplicativo (ou simplesmente inverso) de a/b é b/a porque (a/b) * (b/a) = 1.

(3/4) * (4/3) = 1

Compreender essas propriedades dos números racionais ajudará a resolver problemas facilmente e garantirá que os cálculos sejam feitos corretamente. Quando essas propriedades são aplicadas ativamente em tarefas que envolvem números racionais, a matemática se torna menos complicada. Continue praticando essas propriedades com exemplos suficientes para ganhar proficiência.

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