有理数の性質

有理数は、整数pとqでq ≠ 0を満たす分数p/qとして表現できる数です。このガイドでは、数学的操作を整理し効率的に行うのに役立つさまざまな有理数の性質について説明します。これらの性質には以下が含まれます：

• 閉包性
• 可換性
• 結合法則
• 分配法則
• 単位元の性質
• 逆元の性質

閉包性

閉包性は、任意の2つの有理数の和、差、および積が常に有理数であることを述べています。

加算

2つの有理数a/bとc/dを考えます。それらの和は次のようになります：

(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd

ここで、ad + bcとbdも整数であり、bd ≠ 0なので、結果は有理数です。

(2/3) + (4/5) = (2*5 + 4*3) / (3*5) = (10 + 12) / 15 = 22/15

減算

減算についても加算と同様に、a/bをc/dから引くと：

(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd

ad - bcとbdが整数であり、bd ≠ 0なので、これも有理数です。

(5/6) - (7/8) = (5*8 - 7*6) / (6*8) = (40 - 42) / 48 = -2/48 = -1/24

乗算

乗算では、2つの有理数a/bとc/dの積は：

(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)

acおよびbdが共に整数であり、bd ≠ 0であるため、結果は有理数です。

(3/4) * (2/5) = (3*2) / (4*5) = 6/20 = 3/10

可換性

可換性は、2つの有理数を加算または乗算する順序が結果に影響を与えないことを述べています。

加算

加算では、a/b + c/d = c/d + a/bです。和は変わりません。

(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6

(1/3) + (1/2) = (2/6) + (3/6) = 5/6

乗算

乗算では、a/b * c/d = c/d * a/bです。積は変わりません。

(2/3) * (4/5) = (8/15)

(4/5) * (2/3) = (8/15)

結合法則

結合法則は、有理数を加算または乗算する際のグループ化の方法がその和や積を変えないことを述べています。

加算

加算時に、(a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)です。

((1/4) + (1/5)) + (1/6) = (9/20) + (1/6) = 29/60

(1/4) + ((1/5) + (1/6)) = (1/4) + (11/30) = 29/60

乗算

乗算では、(a/b * c/d) * e/f = a/b * (c/d * e/f)です。

((2/3) * (3/4)) * (4/5) = (1/2) * (4/5) = 2/5

(2/3) * ((3/4) * (4/5)) = (2/3) * (1/5) = 2/15

分配法則

分配法則は、ある数をいくつかの数の和に掛けることと、それぞれを掛けてから和を求めることが同じであることを示しています。

式としては、a/b * (c/d + e/f) = a/b * c/d + a/b * e/fです。

(2/3) * ((3/4) + (5/6)) = (2/3) * (19/12) = 38/36 = 19/18

(2/3) * (3/4) + (2/3) * (5/6) = 1/2 + 5/9 = 19/18

単位元の性質

単位元の性質は、ある有理数に特定の数を加えたり掛けたりしても、その値が変わらないことを明確に示しています。

加算

加算の単位元は0です。したがって、a/b + 0 = a/bです。

(7/8) + 0 = 7/8

乗算

乗算の単位元は1です。したがって、a/b * 1 = a/bです。

(9/10) * 1 = 9/10

逆元の性質

任意の有理数に対して、その逆数が存在し、その操作結果は単位元になります。

加法の逆数

a/bの加法の逆数は-a/bであり、a/b + (-a/b) = 0です。

(5/7) + (-5/7) = 0

乗法の逆数

a/bの乗法の逆数（逆数）はb/aであり、(a/b) * (b/a) = 1です。

(3/4) * (4/3) = 1

これらの有理数の性質を理解することで、問題を簡単に解決でき、計算が正しく行われることを保証できます。有理数を含む作業でこれらの性質が積極的に適用されると、数学がより簡単になります。これらの性質を多くの例で練習して熟達を目指しましょう。

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