प्राकृतिक संख्याओं के गुण

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो एक भिन्न p/q के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं जहाँ p और q पूर्णांक होते हैं और q ≠ 0 इस मार्गदर्शिका में, हम प्राकृतिक संख्याओं के विभिन्न गुणों पर चर्चा करने जा रहे हैं जो गणितीय क्रियाओं को व्यवस्थित और दक्षतापूर्वक करने में मदद करते हैं। इन गुणों में शामिल हैं:

• समापन गुण
• विनिमेय गुण
• सहचारी गुण
• वितरणीय गुण
• परपहचान गुण
• विलोम गुण

समापन गुण

समापन गुण कहता है कि दो प्राकृतिक संख्याओं का योग, अंतर, और गुणन हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होता है।

जोड़

मान लें कि आपके पास दो प्राकृतिक संख्याएँ a/b और c/d हैं। उनका योग है:

(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd

यहाँ, ad + bc और bd भी पूर्णांक हैं, और क्योंकि bd ≠ 0, परिणाम एक प्राकृतिक संख्या है।

(2/3) + (4/5) = (2*5 + 4*3) / (3*5) = (10 + 12) / 15 = 22/15

घटाना

घटाव के लिए, जोड़ की तरह ही, यदि आप a/b से c/d घटाते हैं, तो आपको मिलता है:

(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd

चूंकि ad - bc और bd पूर्णांक हैं, और bd ≠ 0, यह भी एक प्राकृतिक संख्या है।

(5/6) - (7/8) = (5*8 - 7*6) / (6*8) = (40 - 42) / 48 = -2/48 = -1/24

गुणा

गुणा में, दो प्राकृतिक संख्याओं a/b और c/d का गुणन फल होता है:

(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)

चूंकि ac और bd दोनों पूर्णांक हैं और bd ≠ 0, परिणाम एक प्राकृतिक संख्या है।

(3/4) * (2/5) = (3*2) / (4*5) = 6/20 = 3/10

विनिमेय गुण

विनिमेय गुण कहता है कि दो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

जोड़

जोड़ के लिए, a/b + c/d = c/d + a/b। योग अपरिवर्तित रहता है।

(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6

(1/3) + (1/2) = (2/6) + (3/6) = 5/6

गुणा

गुणा के लिए, a/b * c/d = c/d * a/b। गुणन फल अपरिवर्तित रहता है।

(2/3) * (4/5) = (8/15)

(4/5) * (2/3) = (8/15)

सहचारी गुण

सहचारी गुण यह बताता है कि जोड़ या गुणा में प्राकृतिक संख्याओं के समूह में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

जोड़

जब जोड़ते हैं, (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)

((1/4) + (1/5)) + (1/6) = (9/20) + (1/6) = 29/60

(1/4) + ((1/5) + (1/6)) = (1/4) + (11/30) = 29/60

गुणा

गुणा के लिए, (a/b * c/d) * e/f = a/b * (c/d * e/f)

((2/3) * (3/4)) * (4/5) = (1/2) * (4/5) = 2/5

(2/3) * ((3/4) * (4/5)) = (2/3) * (1/5) = 2/15

वितरणीय गुण

वितरणीय गुण गुणा और जोड़ को जोड़ता है, यह दर्शाता है कि संख्याओं के समूह के साथ एक संख्या को गुणा करना उसी के बराबर है जैसे कि प्रत्येक गुणा को अलग-अलग करना।

एक सूत्र के रूप में, a/b * (c/d + e/f) = a/b * c/d + a/b * e/f।

(2/3) * ((3/4) + (5/6)) = (2/3) * (19/12) = 38/36 = 19/18

(2/3) * (3/4) + (2/3) * (5/6) = 1/2 + 5/9 = 19/18

परपहचान गुण

परपहचान गुण यह स्पष्ट करता है कि एक प्राकृतिक संख्या का मान एक निश्चित संख्या को जोड़ने या गुणा करने पर नहीं बदलता है।

जोड़

योग के लिए पहचान संख्या 0 है अत: a/b + 0 = a/b।

(7/8) + 0 = 7/8

गुणा

गुणा के लिए पहचान संख्या 1 है अत: a/b * 1 = a/b।

(9/10) * 1 = 9/10

विलोम गुण

हर प्राकृतिक संख्या के लिए एक और प्राकृतिक संख्या होती है, जो इसका विलोम है, जो ऑपरेशन के परिणाम को पहचान मान तक ले आती है।

योग की विलोम संख्या

a/b का योग की विलोम संख्या -a/b है क्योंकि a/b + (-a/b) = 0।

(5/7) + (-5/7) = 0

गुणन की विलोम संख्या

गुणन की विलोम संख्या (या विपरीत) a/b का b/a होता है क्योंकि (a/b) * (b/a) = 1।

(3/4) * (4/3) = 1

प्राकृतिक संख्याओं के इन गुणों को समझना समस्याओं को हल करने में मदद करेगा और सुनिश्चित करेगा कि गणनाएँ सही से की जाएँ। जब इन गुणों का सक्रिय रूप से उन कार्यों में पालन किया जाता है जिनमें प्राकृतिक संख्याएँ शामिल होती हैं, तब गणित आसान हो जाता है। इन गुणों का अभ्यास पर्याप्त उदाहरणों के साथ करें

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