Grado 7
  1. Sistema numérico  1.1. Enteros  1.1.1. Propiedades de los enteros  1.1.2. Operaciones con enteros  1.1.3. Inversos aditivos y multiplicativos  1.1.4. Aplicaciones de los enteros  1.2. Números racionales  1.2.1. Definición de números racionales  1.2.2. Propiedades de los números racionales  1.2.3. Operaciones con números racionales  1.2.4. Forma estándar de números racionales  1.3. Entendiendo los decimales en el sistema numérico  1.3.1. Operaciones con decimales  1.3.2. Entendiendo fracciones y decimales  1.4. Poderes y exponentes  1.4.1. Leyes de exponentes  1.4.2. Simplificando expresiones con exponentes  1.4.3. Comprendiendo la notación científica  1.5. Raíces  1.5.1. Raíz cuadrada  1.5.2. Raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresiones en álgebra  2.1.1. Introducción a las expresiones algebraicas  2.1.2. Simplificación de expresiones  2.1.3. Evaluación de la expresión  2.2. Introducción a las ecuaciones lineales  2.2.1. Resolviendo ecuaciones simples  2.2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales  2.3. Identidades algebraicas  2.3.1. Expansión usando identidades  2.3.2. Simplificación usando identidades
  3. Razón y proporción  3.1. Entendiendo las proporciones  3.1.1. Entendiendo las proporciones  3.1.2. Entendiendo la simplificación de razones  3.1.3. Ratio equivalente  3.2. Entendiendo la proporción en matemáticas  3.2.1. El concepto de proporción  3.2.2. Proporción directa  3.2.3. Entendiendo la proporción inversa  3.3. Comprendiendo el método unitario  3.3.1. Resolver problemas usando el método unitario
  4. Geometría  4.1. Líneas y ángulos  4.1.1. Tipos de ángulos  4.1.2. Pares de ángulos  4.1.3. Propiedades de las líneas paralelas y una transversal  4.1.4. Introducción a las bisectrices de ángulos  4.2. Entendiendo los triángulos en geometría  4.2.1. Tipos de triángulos  4.2.2. Propiedad de la suma de ángulos  4.2.3. Introducción a las propiedades del ángulo exterior  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Entendiendo la congruencia de triángulos  4.3.1. Criterios de conformidad  4.3.2. Aplicaciones de la congruencia  4.4. Cuadrilátero  4.4.1. Tipos de cuadriláteros  4.4.2. Propiedades del paralelogramo  4.4.3. Cuadriláteros especiales  4.4.4. Propiedades de los rectángulos y rombos
  5. Mensuración  5.1. Comprendiendo el perímetro y el área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Comprender el área de un trapezoide  5.1.4. Área del paralelogramo  5.1.5. Área de un círculo  5.1.6. Comprensión del área de formas compuestas  5.2. Área de superficie y volumen en medición  5.2.1. Cubo y cuboide  5.2.2. Comprender el área de superficie de los cilindros  5.2.3. Volumen de un prisma y un cilindro  5.2.4. Volumen y área superficial de un cono
  6. Manejo de datos  6.1. Recolección de datos  6.1.1. Organizar los datos  6.1.2. Distribución de frecuencia  6.2. Representación gráfica de datos  6.2.1. Introducción a los Gráficos de Barras  6.2.2. Comprender los gráficos de barras dobles  6.2.3. Entendiendo los gráficos de pastel  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introducción a los gráficos de líneas  6.3. Entendiendo la probabilidad en la gestión de datos  6.3.1. Comprender eventos simples en probabilidad  6.3.2. Probabilidad experimental  6.3.3. Probabilidad teórica
  7. Geometría práctica  7.1. Construcción de triángulos  7.1.1. Construcción de triángulos con longitudes de lados dadas  7.1.2. Construcción de un triángulo con lado y ángulo dados  7.1.3. Construcción de triángulos rectángulos  7.2. Construcción de un cuadrilátero  7.2.1. Dado el largo de los lados y los ángulos de un cuadrilátero  7.2.2. Construcción de paralelogramos y rectángulos

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Propiedades de los números racionales


Los números racionales son números que pueden expresarse como una fracción p/q donde p y q son enteros y q ≠ 0. En esta guía, vamos a discutir varias propiedades de los números racionales que ayudan a organizar y realizar eficientemente operaciones matemáticas. Estas propiedades incluyen:

  • Propiedad de clausura
  • Propiedad conmutativa
  • Propiedad asociativa
  • Propiedad distributiva
  • Propiedad de identidad
  • Propiedad inversa

Propiedad de clausura

La propiedad de clausura establece que la suma, diferencia y producto de dos números racionales cualquiera es siempre un número racional.

Suma

Supongamos que tienes dos números racionales a/b y c/d. Su suma es:

(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd

Aquí, ad + bc y bd también son enteros, y dado que bd ≠ 0, el resultado es un número racional.

Ejemplo: Sumar 2/3 y 4/5.

(2/3) + (4/5) = (2*5 + 4*3) / (3*5) = (10 + 12) / 15 = 22/15

El resultado 22/15 también es un número racional.

Resta

Para la resta, similar a la suma, si restas a/b de c/d, obtienes:

(a/b) - (c/d) = (ad - bc) / bd

Dado que ad - bc y bd son enteros, y bd ≠ 0, esto también es un número racional.

Ejemplo: Restar 7/8 de 5/6.

(5/6) - (7/8) = (5*8 - 7*6) / (6*8) = (40 - 42) / 48 = -2/48 = -1/24

El resultado -1/24 es un número racional.

Multiplicación

En la multiplicación, el producto de dos números racionales a/b y c/d es:

(a/b) * (c/d) = (ac) / (bd)

Dado que ac y bd son ambos enteros y bd ≠ 0, el resultado es un número racional.

Ejemplo: Multiplicar 3/4 por 2/5.

(3/4) * (2/5) = (3*2) / (4*5) = 6/20 = 3/10

El resultado 3/10 también es un número racional.

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa establece que el orden de suma o multiplicación de dos números racionales no afecta el resultado.

Suma

Para la suma, a/b + c/d = c/d + a/b. La suma permanece sin cambios.

Ejemplo: Usar 1/2 + 1/3 sería 1/3 + 1/2.

(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6
(1/3) + (1/2) = (2/6) + (3/6) = 5/6

En ambas secuencias, el resultado es 5/6, lo que demuestra la propiedad conmutativa.

Multiplicación

Para la multiplicación, a/b * c/d = c/d * a/b. El producto permanece sin cambios.

Ejemplo: Usar 2/3 * 4/5 es igual a 4/5 * 2/3.

(2/3) * (4/5) = (8/15)
(4/5) * (2/3) = (8/15)

En ambas secuencias, el resultado es 8/15, lo que sigue la propiedad conmutativa.

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa establece que la forma en que se agrupan los números racionales en la suma o multiplicación no cambia su suma o producto.

Suma

Al sumar, (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)

Ejemplo: Sumar 1/4 + 1/5 + 1/6 con grupos separados.

((1/4) + (1/5)) + (1/6) = (9/20) + (1/6) = 29/60
(1/4) + ((1/5) + (1/6)) = (1/4) + (11/30) = 29/60

El total de los dos grupos es 29/60.

Multiplicación

Para la multiplicación, (a/b * c/d) * e/f = a/b * (c/d * e/f)

Ejemplo: Multiplicar 2/3 * 3/4 * 4/5 con diferentes grupos.

((2/3) * (3/4)) * (4/5) = (1/2) * (4/5) = 2/5
(2/3) * ((3/4) * (4/5)) = (2/3) * (1/5) = 2/15

Observe que, aunque los resultados intermedios cambian con el reordenamiento, esta propiedad sigue siendo válida para toda la expresión.

Propiedad distributiva

La propiedad distributiva conecta la multiplicación y la suma, mostrando que multiplicar un número por un grupo de números sumados es igual a hacer cada multiplicación por separado.

Como fórmula, a/b * (c/d + e/f) = a/b * c/d + a/b * e/f.

Ejemplo: Demostrar la propiedad distributiva usando 2/3 y (3/4 + 5/6).

(2/3) * ((3/4) + (5/6)) = (2/3) * (19/12) = 38/36 = 19/18
(2/3) * (3/4) + (2/3) * (5/6) = 1/2 + 5/9 = 19/18

Ambos métodos dan los mismos resultados, lo que confirma la propiedad distributiva.

Propiedad de identidad

La propiedad de identidad deja claro que el valor de un número racional no cambiará si se suma o se multiplica por un cierto número.

Suma

El número de identidad para la suma es 0. Así, a/b + 0 = a/b.

Ejemplo: Sumar 0 a 7/8.

(7/8) + 0 = 7/8

Multiplicación

El número de identidad para la multiplicación es 1. Así, a/b * 1 = a/b.

Ejemplo: Multiplicar 1 por 9/10.

(9/10) * 1 = 9/10

Propiedad inversa

Para cada número racional, existe otro número racional que es su inverso, lo que lleva el resultado de la operación al valor de identidad.

Inverso aditivo

El inverso aditivo de a/b es -a/b porque a/b + (-a/b) = 0.

Ejemplo: Encontrar el inverso aditivo de 5/7.

(5/7) + (-5/7) = 0

Inverso multiplicativo

El inverso multiplicativo (o inverso) de a/b es b/a porque (a/b) * (b/a) = 1.

Ejemplo: Encontrar el inverso multiplicativo de 3/4.

(3/4) * (4/3) = 1

Entender estas propiedades de los números racionales te ayudará a resolver problemas fácilmente y asegurará que los cálculos se realicen correctamente. Cuando estas propiedades se aplican activamente en tareas que involucran números racionales, las matemáticas se vuelven menos complicadas. Sigue practicando estas propiedades con suficientes ejemplos para adquirir destreza.


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