Класс 7
  1. Система чисел  1.1. Целые числа  1.1.1. Свойства целых чисел  1.1.2. Операции с целыми числами  1.1.3. Аддитивные и мультипликативные обратные  1.1.4. Применение целых чисел  1.2. Рациональные числа  1.2.1. Определение рациональных чисел  1.2.2. Свойства рациональных чисел  1.2.3. Операции с рациональными числами  1.2.4. Стандартная форма рациональных чисел  1.3. Понимание десятичных дробей в числовой системе  1.3.1. Операции с десятичными числами  1.3.2. Понимание дробей и десятичных дробей  1.4. Степени и показатели степени  1.4.1. Законы степени  1.4.2. Упрощение выражений со степенями  1.4.3. Понимание научной нотации  1.5. Корни  1.5.1. Квадратный корень  1.5.2. Кубический корень
  2. Алгебра  2.1. Выражения в алгебре  2.1.1. Введение в алгебраические выражения  2.1.2. Упрощение выражений  2.1.3. Оценка выражения  2.2. Введение в линейные уравнения  2.2.1. Решение простых уравнений  2.2.2. Применение линейных уравнений  2.3. Алгебраические тождества  2.3.1. Расширение с использованием идентичностей  2.3.2. Упрощение с использованием тождеств
  3. Отношение и пропорция  3.1. Понимание соотношений  3.1.1. Понимание отношений  3.1.2. Понимание упрощения отношений  3.1.3. Эквивалентное соотношение  3.2. Понимание пропорции в математике  3.2.1. Концепция пропорции  3.2.2. Прямая пропорция  3.2.3. Понимание обратной пропорции  3.3. Понимание метода единичного значения  3.3.1. Решение задач с помощью метода единства
  4. Геометрия  4.1. Линии и углы  4.1.1. Типы углов  4.1.2. Пары углов  4.1.3. Свойства параллельных линий и секущей  4.1.4. Введение в биссектрисы углов  4.2. Понимание треугольников в геометрии  4.2.1. Типы треугольников  4.2.2. Свойство суммы углов  4.2.3. Введение в свойства внешнего угла  4.2.4. Теорема Пифагора  4.3. Понимание конгруэнтности треугольников  4.3.1. Критерии соответствия  4.3.2. Применение конгруэнтности  4.4. Четырехугольник  4.4.1. Типы четырехугольников  4.4.2. Свойства параллелограмма  4.4.3. Специальные четырехугольники  4.4.4. Свойства прямоугольников и ромбов
  5. Геометрические измерения  5.1. Понимание периметра и площади  5.1.1. Периметр плоских фигур  5.1.2. Площадь плоских фигур  5.1.3. Понимание площади трапеции  5.1.4. Площадь параллелограмма  5.1.5. Площадь круга  5.1.6. Понимание площади составных фигур  5.2. Площадь поверхности и объем в измерении  5.2.1. Куб и прямоугольный параллелепипед  5.2.2. Понимание площади поверхности цилиндров  5.2.3. Объем призмы и цилиндра  5.2.4. Объем и площадь поверхности конуса
  6. Обработка данных  6.1. Сбор данных  6.1.1. Организация данных  6.1.2. Распределение частот  6.2. Графическое представление данных  6.2.1. Введение в столбчатые диаграммы  6.2.2. Понимание двойных столбчатых диаграмм  6.2.3. Понимание круговых диаграмм  6.2.4. Гистограмма  6.2.5. Введение в линейные графики  6.3. Понимание вероятности в управлении данными  6.3.1. Понимание простых событий в теории вероятностей  6.3.2. Экспериментальная вероятность  6.3.3. Теоретическая вероятность
  7. Практическая геометрия  7.1. Построение треугольников  7.1.1. Построение треугольников с заданными длинами сторон  7.1.2. Построение треугольника с заданной стороной и углом  7.1.3. Построение прямоугольных треугольников  7.2. Построение четырёхугольника  7.2.1. Даны длины сторон и углы четырехугольника  7.2.2. Построение параллелограмма и прямоугольника

Класс 7 → Система чисел → Рациональные числа ↓


Определение рациональных чисел


Рациональные числа — это фундаментальное понятие в математике, с которым мы часто сталкиваемся в повседневной жизни и академических исследованиях. Понимание рациональных чисел обеспечивает прочную основу для дальнейшего изучения более сложных математических идей. В этом объяснении мы обсудим, что такое рациональные числа, предоставим их визуальные представления и предложим множество примеров, чтобы помочь проиллюстрировать эту важную математическую концепцию.

Что такое рациональные числа?

Рациональное число определяется как любое число, которое может быть выражено в виде дроби p ⁄ q, где p и q — это целые числа, а q не равно нулю. Другими словами, рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде отношения двух целых чисел с ненулевыми знаменателями.

Математически множество рациональных чисел обозначается символом ℚ

Множество рациональных чисел включает в себя:

  • Все положительные дроби, например 1 ⁄ 2, 3 ⁄ 4, 5 ⁄ 7
  • Отрицательные дроби, например -2 ⁄ 3, -4 ⁄ 5
  • Целые числа, такие как 0, 1 и -3 (так как их можно записать как 0 ⁄ 1, 1 ⁄ 1 и -3 ⁄ 1 соответственно)
  • Десятичные дроби, такие как 0.75 (которые можно записать как 3 ⁄ 4)
  • Периодические или повторяющиеся десятичные дроби, такие как 0.333... (которые можно выразить как 1 ⁄ 3)

Визуальное представление

Визуальные изображения помогают нам понять расположение рациональных чисел на числовой прямой. Давайте изучим, как рациональные числа вписываются в более широкий контекст числовой прямой.

-3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 1⁄2​ 3⁄2​

Открытие рациональных чисел

Чтобы понять рациональные числа более глубоко, давайте рассмотрим различные категории и примеры, иллюстрирующие их свойства.

Положительные и отрицательные дроби

Рациональные числа включают как положительные, так и отрицательные дроби.

  • Пример положительной дроби: 7 ⁄ 8 — положительное, поскольку числитель и знаменатель имеют один и тот же знак.
  • Пример отрицательной дроби: -5 ⁄ 4 — отрицательное, так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный.
  • Пример отрицательной дроби: 5 ⁄ -4 — отрицательное, так как числитель положительный, а знаменатель отрицательный.
Положительное: 7⁄8​ Отрицательное: -5⁄4​

Целые числа как рациональные числа

Целое число также можно рассматривать как рациональное число. Это потому, что любое целое число x можно представить как x ⁄ 1. Таким образом, число 5 можно представить как рациональное число 5 ⁄ 1.

3 = 3 ⁄ 1 0 = 0 ⁄ 1 -2 = -2 ⁄ 1

Окончательные и повторяющиеся десятичные дроби

Окончательные или повторяющиеся десятичные дроби также можно считать рациональными. Окончательная десятичная дробь имеет конечное количество цифр после запятой. Например:

0.25 = 1 ⁄ 4 0.75 = 3 ⁄ 4 0.5 = 1 ⁄ 2

Повторяющаяся десятичная дробь — это дробь, в которой некоторые цифры повторяются бесконечное количество раз. Например:

0.3333... = 1 ⁄ 3 0.6666... = 2 ⁄ 3 0.1252525... = 125 ⁄ 990

Рациональные числа в контексте реального мира

Рациональные числа важны в различных жизненных контекстах. Представьте себе, когда вы готовите, и рецепт требует 2 ⁄ 3 чашек сахара. Вам нужно тщательно измерить дробь, что ясно показывает повседневное использование рациональных чисел.

Еще один пример может быть в финансовых расчетах, таких как разделение счета. Если общая сумма в 50 долларов должна быть разделена между четырьмя друзьями, каждый вносит 50 ⁄ 4, что просто составляет 12.50 долларов. Таким образом, хотя это представлено в десятичной форме, это контекстуально рациональное число.

Свойства рациональных чисел

Рациональные числа обладают несколькими особыми свойствами, которые делают их уникальными:

  • Свойство замкнутости: Сумма или произведение любых двух рациональных чисел также является рациональным числом. Пример 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2, рациональное число.
  • Коммутативное свойство: Рациональные числа подчиняются коммутативному свойству при сложении и умножении. Пример: a ⁄ b + c ⁄ d = c ⁄ d + a ⁄ b
  • Ассоциативное свойство: Сложение и произведение рациональных чисел ассоциативно. Пример: (a ⁄ b + c ⁄ d) + e ⁄ f = a ⁄ b + (c ⁄ d + e ⁄ f)
  • Дистрибутивное свойство: Рациональные числа подчиняются дистрибутивному закону, который необходим для раскрытия скобок. Пример: a ⁄ b × (c ⁄ d + e ⁄ f) = (a ⁄ b × c ⁄ d) + (a ⁄ b × e ⁄ f)

Заключение

Рациональные числа универсальны и неотъемлемы в области математики. Будучи числами, которые могут быть выражены в виде дробей целых чисел, они позволяют нам представлять широкий диапазон значений, от целых чисел до повторяющихся десятичных дробей. Система записи, свойства (такие как замкнутость, коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) и их применимость к жизненным ситуациям усиливают их значение и полезность в математике. С примерами и визуальными средствами, представленными здесь, мы надеемся пролить свет на общность и красоту рациональных чисел на числовой прямой и за ее пределами.


Класс 7 → 1.2.1


U
username
0%
завершено в Класс 7

← предыдущая (1.2)
Рациональные числа
следующая (1.2.2) →
Свойства рациональных чисел

комментарии 



Определение рациональных чисел

https://www.buddymath.com/g7/1.2.1?bmal=ru