7º ano
  1. Sistema de números  1.1. Inteiros  1.1.1. Propriedades dos inteiros  1.1.2. Operações com inteiros  1.1.3. Inversos aditivos e multiplicativos  1.1.4. Aplicações dos números inteiros  1.2. Números racionais  1.2.1. Definição de números racionais  1.2.2. Propriedades dos números racionais  1.2.3. Operações com números racionais  1.2.4. Forma padrão de números racionais  1.3. Compreendendo decimais no sistema numérico  1.3.1. Operações com decimais  1.3.2. Entendendo frações e decimais  1.4. Potências e expoentes  1.4.1. Leis dos expoentes  1.4.2. Simplificando expressões com expoentes  1.4.3. Entendendo a notação científica  1.5. Raízes  1.5.1. Raiz quadrada  1.5.2. Raiz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expressões em álgebra  2.1.1. Introdução às expressões algébricas  2.1.2. Simplificação de expressões  2.1.3. Avaliando a expressão  2.2. Introdução às equações lineares  2.2.1. Resolvendo equações simples  2.2.2. Aplicações de Equações Lineares  2.3. Identidades algébricas  2.3.1. Expansão usando identidades  2.3.2. Simplificação usando identidades
  3. Razão e proporção  3.1. Compreendendo razões  3.1.1. Entendendo proporções  3.1.2. Compreendendo a simplificação de razões  3.1.3. Razão equivalente  3.2. Compreendendo a razão na matemática  3.2.1. O conceito de proporção  3.2.2. Proporção direta  3.2.3. Compreendendo a proporção inversa  3.3. Compreendendo o método unitário  3.3.1. Resolvendo problemas usando o método unitário
  4. Geometria  4.1. Linhas e ângulos  4.1.1. Tipos de ângulos  4.1.2. Pares de ângulos  4.1.3. Propriedades de linhas paralelas e uma transversal  4.1.4. Introdução aos bissetores de ângulos  4.2. Compreendendo triângulos na geometria  4.2.1. Tipos de triângulos  4.2.2. Propriedade da soma dos ângulos  4.2.3. Introdução às propriedades dos ângulos externos  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Compreendendo a congruência de triângulos  4.3.1. Critérios de conformidade  4.3.2. Aplicações da congruência  4.4. Quadrilátero  4.4.1. Tipos de quadriláteros  4.4.2. Propriedades do paralelogramo  4.4.3. Quadriláteros especiais  4.4.4. Propriedades dos retângulos e losangos
  5. Mensuração  5.1. Compreendendo perímetro e área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Compreendendo a área de um trapézio  5.1.4. Área de um paralelogramo  5.1.5. Área de um círculo  5.1.6. Compreendendo a área de formas compostas  5.2. Área de superfície e volume na medição  5.2.1. Cubo e paralelepípedo  5.2.2. Compreendendo a área de superfície de cilindros  5.2.3. Volume de um prisma e um cilindro  5.2.4. Volume e área de superfície de um cone
  6. Manipulação de dados  6.1. Coleta de dados  6.1.1. Organizando os dados  6.1.2. Distribuição de frequência  6.2. Representação gráfica de dados  6.2.1. Introdução aos Gráficos de Barras  6.2.2. Compreendendo gráficos de barras duplas  6.2.3. Compreendendo gráficos de pizza  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introdução aos gráficos de linha  6.3. Compreendendo a probabilidade na gestão de dados  6.3.1. Compreendendo eventos simples em probabilidade  6.3.2. Probabilidade experimental  6.3.3. Probabilidade teórica
  7. Geometria prática  7.1. Construção de triângulos  7.1.1. Construção de triângulos com comprimentos de lados dados  7.1.2. Construindo um triângulo com lado e ângulo dados  7.1.3. Construção de triângulos retângulos  7.2. Construção de quadrilátero  7.2.1. Dadas medidas laterais e ângulos de um quadrilátero  7.2.2. Construção de paralelogramo e retângulo

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Definição de números racionais


Números racionais são um conceito fundamental na matemática, um que encontramos frequentemente na vida cotidiana e nos estudos acadêmicos. Compreender números racionais fornece uma base sólida para uma exploração mais aprofundada de ideias matemáticas mais complexas. Nesta explicação, discutiremos o que são números racionais, forneceremos representações visuais e ofereceremos muitos exemplos para ajudar a ilustrar esse importante conceito matemático.

O que são números racionais?

Um número racional é definido como qualquer número que pode ser expresso como uma fração p ⁄ q, onde p e q são inteiros e q não é igual a zero. Em outras palavras, um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma razão de dois inteiros com denominadores diferentes de zero.

Matematicamente, o conjunto de números racionais é representado pelo símbolo ℚ

O conjunto de números racionais inclui:

  • Todas as frações positivas, como 1 ⁄ 2, 3 ⁄ 4, 5 ⁄ 7
  • Frações negativas, como -2 ⁄ 3, -4 ⁄ 5
  • Números inteiros, como 0, 1 e -3 (já que esses podem ser escritos como 0 ⁄ 1, 1 ⁄ 1 e -3 ⁄ 1 respectivamente)
  • Decimais que terminam em 0.75 (que pode ser escrito como 3 ⁄ 4)
  • Decimais recorrentes ou repetidos, como 0.333... (que pode ser expresso como 1 ⁄ 3)

Representação visual

Representações visuais nos ajudam a entender a posição dos números racionais na reta numérica. Vamos explorar como os números racionais se encaixam no contexto mais amplo da reta numérica.

-3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 1⁄2​ 3⁄2​

Descoberta dos números racionais

Para entender números racionais mais a fundo, vamos considerar várias categorias e exemplos que ilustram suas propriedades.

Frações positivas e negativas

Números racionais incluem tanto frações positivas quanto negativas.

  • Exemplo de Fração Positiva: 7 ⁄ 8 é positivo porque tanto o numerador quanto o denominador têm o mesmo sinal.
  • Exemplo de Fração Negativa: -5 ⁄ 4 é negativo porque o numerador é negativo enquanto o denominador é positivo.
  • Exemplo de Fração Negativa: 5 ⁄ -4 é negativo porque o numerador é positivo enquanto o denominador é negativo.
Positivo: 7⁄8​ Negativo: -5⁄4​

Números inteiros como números racionais

Um número inteiro também pode ser considerado um número racional. Isso porque qualquer número inteiro x pode ser representado como x ⁄ 1. Assim, um número como 5 pode ser representado como um número racional 5 ⁄ 1.

3 = 3 ⁄ 1 0 = 0 ⁄ 1 -2 = -2 ⁄ 1

Decimais terminados e recorrentes

Decimais terminados ou repetidos também podem ser considerados racionais. Um decimal terminado tem um número finito de dígitos após o ponto decimal. Por exemplo:

0.25 = 1 ⁄ 4 0.75 = 3 ⁄ 4 0.5 = 1 ⁄ 2

Um decimal recorrente é um decimal no qual alguns dígitos são repetidos um número infinito de vezes. Por exemplo:

0.3333... = 1 ⁄ 3 0.6666... = 2 ⁄ 3 0.1252525... = 125 ⁄ 990

Números racionais no contexto do mundo real

Números racionais são importantes em uma variedade de contextos do mundo real. Considere quando você está cozinhando e uma receita pede 2 ⁄ 3 de xícara de açúcar. Você precisa medir cuidadosamente a fração, o que claramente mostra o uso cotidiano de números racionais.

Outro exemplo pode ser em cálculos financeiros, como dividir uma conta. Se um total de $50 deve ser dividido entre quatro amigos, cada pessoa contribui com 50 ⁄ 4, que simplesmente resulta em $12,50. Portanto, embora seja apresentado na forma decimal, é contextualmente um número racional.

Propriedades dos números racionais

Os números racionais possuem várias propriedades especiais que os tornam únicos:

  • Propriedade de Fechamento: A soma ou o produto de quaisquer dois números racionais também é um número racional. Por exemplo 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2, um número racional.
  • Propriedade Comutativa: Os números racionais obedecem à propriedade comutativa na adição e na multiplicação. Exemplo: a ⁄ b + c ⁄ d = c ⁄ d + a ⁄ b
  • Propriedade Associativa: A adição e o produto de números racionais são associativos. Exemplo: (a ⁄ b + c ⁄ d) + e ⁄ f = a ⁄ b + (c ⁄ d + e ⁄ f)
  • Propriedade Distributiva: Os números racionais obedecem à lei distributiva, que é necessária para abrir parênteses. Exemplo: a ⁄ b × (c ⁄ d + e ⁄ f) = (a ⁄ b × c ⁄ d) + (a ⁄ b × e ⁄ f)

Conclusão

Os números racionais são versáteis e integrais ao campo da matemática. Sendo números que podem ser expressos como frações de inteiros, permitem-nos representar uma ampla gama de valores, desde números inteiros até decimais repetidos. O sistema de notação, propriedades (como as propriedades de fechamento, comutativa, associativa e distributiva) e sua aplicabilidade a situações da vida real aumentam sua importância e utilidade na matemática. Com os exemplos e auxílios visuais fornecidos, esperamos lançar luz sobre a generalidade e a beleza dos números racionais na reta numérica e além.


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