परिमेय संख्याओं की परिभाषा

परिमेय संख्याओं की खोज

परिमेय संख्याओं को और अधिक गहराई से समझने के लिए, आइए विभिन्न श्रेणियाँ और उदाहरण देखें जो उनके गुणों को प्रदर्शित करते हैं।

धनात्मक और ऋणात्मक भिन्न

परिमेय संख्याएँ धनात्मक और ऋणात्मक भिन्न दोनों को शामिल करती हैं।

• धनात्मक भिन्न उदाहरण: 7 ⁄ 8 धनात्मक है क्योंकि भिन्न में अंकगणित दोनों ही चिह्न समान हैं।
• ऋणात्मक भिन्न उदाहरण: -5 ⁄ 4 ऋणात्मक है क्योंकि अंकगणित ऋणात्मक है जबकि हरक सकारात्मक है।
• ऋणात्मक भिन्न उदाहरण: 5 ⁄ -4 ऋणात्मक है क्योंकि अंकगणित सकारात्मक है जबकि हरक ऋणात्मक है।

पूर्णांक के रूप में परिमेय संख्याएँ

एक पूर्णांक भी परिमेय संख्या माना जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी पूर्णांक x को x ⁄ 1 के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। इस प्रकार, 5 जैसे संख्या को परिमेय संख्या 5 ⁄ 1 के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

3 = 3 ⁄ 1 0 = 0 ⁄ 1 -2 = -2 ⁄ 1

अंत समाप्त होने वाले और आवर्ती दशमलव

अंत समाप्त होने वाले या आवर्ती दशमलव भी परिमेय माने जा सकते हैं। एक अंत समाप्त होने वाला दशमलव दशमलव बिंदु के बाद एक सीमित संख्या में अंक होते हैं। उदाहरण के लिए:

0.25 = 1 ⁄ 4 0.75 = 3 ⁄ 4 0.5 = 1 ⁄ 2

एक आवर्ती दशमलव वह दशमलव है जिसमें कुछ अंक अनंत बार दोहराए जाते हैं। उदाहरण के लिए:

0.3333... = 1 ⁄ 3 0.6666... = 2 ⁄ 3 0.1252525... = 125 ⁄ 990

वास्तविक दुनिया के संदर्भ में परिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्याएँ विभिन्न वास्तविक दुनिया के संदर्भों में महत्वपूर्ण होती हैं। मान लें जब आप खाना बना रहे हों और एक रेसिपी में 2 ⁄ 3 कप चीनी की आवश्यकता हो। आपको सावधानीपूर्वक एक भिन्न भाग लेना होगा, जो स्पष्ट रूप से परिमेय संख्याओं का दैनिक उपयोग दर्शाता है।

एक अन्य उदाहरण वित्तीय गणनाएँ हो सकती हैं, जैसे बिल का विभाजन करना। यदि $50 की कुल राशि चार दोस्तों के बीच बांटी जाती है, तो प्रत्येक व्यक्ति 50 ⁄ 4 योगदान करता है, जिसका सरलता $12.50 होती है। इसलिए, हालांकि यह दशमलव रूप में प्रस्तुत किया गया है, यह संदर्भानुसार एक परिमेय संख्या है।

परिमेय संख्याओं के गुण

परिमेय संख्याओं के कई विशेष गुण होते हैं जो उन्हें अद्वितीय बनाते हैं:

• समावेशन का गुण: किसी भी दो परिमेय संख्याओं का योग या गुणनफल भी एक परिमेय संख्या होता है। उदाहरण 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2 है, जो एक परिमेय संख्या है।
• विनिमय का गुण: परिमेय संख्याएँ जोड़ और गुणन पर विनिमय का गुण पालन करती हैं। उदाहरण: a ⁄ b + c ⁄ d = c ⁄ d + a ⁄ b
• संघ का गुण: परिमेय संख्याओं का योग और गुणन संघ होता है। उदाहरण: (a ⁄ b + c ⁄ d) + e ⁄ f = a ⁄ b + (c ⁄ d + e ⁄ f)
• वितरण का गुण: परिमेय संख्याएँ वितरण के नियम का पालन करती हैं, जो ब्रैकेट खोलने के लिए आवश्यक है। उदाहरण: a ⁄ b × (c ⁄ d + e ⁄ f) = (a ⁄ b × c ⁄ d) + (a ⁄ b × e ⁄ f)

निष्कर्ष

परिमेय संख्याएँ विविध और गणित के क्षेत्र में महत्वपूर्ण होती हैं। संख्याएँ जो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं, वे हमें मूल संख्याओं से लेकर आवर्ती दशमलव तक के विस्तृत मानों को प्रदर्शित करने की अनुमति देती हैं। संकेतन प्रणाली, गुण (जैसे समावेशन, विनिमय, संघ और वितरण गुण), और वास्तविक जीवन की स्थितियों में उनकी प्रयोज्यता उनकी महत्व और उपयोगिता को गणित में बढ़ाती है। दिए गए उदाहरणों और दृश्य सहायकों के साथ, हमें उम्मीद है कि संख्या रेखा और उसके परे परिमेय संख्याओं की व्यापकता और सुंदरता पर प्रकाश डाला गया है।