Grado 7
  1. Sistema numérico  1.1. Enteros  1.1.1. Propiedades de los enteros  1.1.2. Operaciones con enteros  1.1.3. Inversos aditivos y multiplicativos  1.1.4. Aplicaciones de los enteros  1.2. Números racionales  1.2.1. Definición de números racionales  1.2.2. Propiedades de los números racionales  1.2.3. Operaciones con números racionales  1.2.4. Forma estándar de números racionales  1.3. Entendiendo los decimales en el sistema numérico  1.3.1. Operaciones con decimales  1.3.2. Entendiendo fracciones y decimales  1.4. Poderes y exponentes  1.4.1. Leyes de exponentes  1.4.2. Simplificando expresiones con exponentes  1.4.3. Comprendiendo la notación científica  1.5. Raíces  1.5.1. Raíz cuadrada  1.5.2. Raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresiones en álgebra  2.1.1. Introducción a las expresiones algebraicas  2.1.2. Simplificación de expresiones  2.1.3. Evaluación de la expresión  2.2. Introducción a las ecuaciones lineales  2.2.1. Resolviendo ecuaciones simples  2.2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales  2.3. Identidades algebraicas  2.3.1. Expansión usando identidades  2.3.2. Simplificación usando identidades
  3. Razón y proporción  3.1. Entendiendo las proporciones  3.1.1. Entendiendo las proporciones  3.1.2. Entendiendo la simplificación de razones  3.1.3. Ratio equivalente  3.2. Entendiendo la proporción en matemáticas  3.2.1. El concepto de proporción  3.2.2. Proporción directa  3.2.3. Entendiendo la proporción inversa  3.3. Comprendiendo el método unitario  3.3.1. Resolver problemas usando el método unitario
  4. Geometría  4.1. Líneas y ángulos  4.1.1. Tipos de ángulos  4.1.2. Pares de ángulos  4.1.3. Propiedades de las líneas paralelas y una transversal  4.1.4. Introducción a las bisectrices de ángulos  4.2. Entendiendo los triángulos en geometría  4.2.1. Tipos de triángulos  4.2.2. Propiedad de la suma de ángulos  4.2.3. Introducción a las propiedades del ángulo exterior  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Entendiendo la congruencia de triángulos  4.3.1. Criterios de conformidad  4.3.2. Aplicaciones de la congruencia  4.4. Cuadrilátero  4.4.1. Tipos de cuadriláteros  4.4.2. Propiedades del paralelogramo  4.4.3. Cuadriláteros especiales  4.4.4. Propiedades de los rectángulos y rombos
  5. Mensuración  5.1. Comprendiendo el perímetro y el área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Comprender el área de un trapezoide  5.1.4. Área del paralelogramo  5.1.5. Área de un círculo  5.1.6. Comprensión del área de formas compuestas  5.2. Área de superficie y volumen en medición  5.2.1. Cubo y cuboide  5.2.2. Comprender el área de superficie de los cilindros  5.2.3. Volumen de un prisma y un cilindro  5.2.4. Volumen y área superficial de un cono
  6. Manejo de datos  6.1. Recolección de datos  6.1.1. Organizar los datos  6.1.2. Distribución de frecuencia  6.2. Representación gráfica de datos  6.2.1. Introducción a los Gráficos de Barras  6.2.2. Comprender los gráficos de barras dobles  6.2.3. Entendiendo los gráficos de pastel  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introducción a los gráficos de líneas  6.3. Entendiendo la probabilidad en la gestión de datos  6.3.1. Comprender eventos simples en probabilidad  6.3.2. Probabilidad experimental  6.3.3. Probabilidad teórica
  7. Geometría práctica  7.1. Construcción de triángulos  7.1.1. Construcción de triángulos con longitudes de lados dadas  7.1.2. Construcción de un triángulo con lado y ángulo dados  7.1.3. Construcción de triángulos rectángulos  7.2. Construcción de un cuadrilátero  7.2.1. Dado el largo de los lados y los ángulos de un cuadrilátero  7.2.2. Construcción de paralelogramos y rectángulos

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Definición de números racionales


Los números racionales son un concepto fundamental en matemáticas, uno que encontramos frecuentemente en la vida cotidiana y en los estudios académicos. Comprender los números racionales proporciona una base sólida para la exploración de ideas matemáticas más complejas. En esta explicación, discutiremos qué son los números racionales, proporcionaremos representaciones visuales y ofreceremos muchos ejemplos para ayudar a ilustrar este importante concepto matemático.

¿Qué son los números racionales?

Un número racional se define como cualquier número que se puede expresar como una fracción p ⁄ q, donde p y q son enteros y q no es igual a cero. En otras palabras, un número racional es cualquier número que se puede escribir como una razón de dos enteros con denominadores no nulos.

Matemáticamente, el conjunto de números racionales se representa con el símbolo ℚ

El conjunto de números racionales incluye:

  • Todas las fracciones positivas como 1 ⁄ 2, 3 ⁄ 4, 5 ⁄ 7
  • Fracciones negativas como -2 ⁄ 3, -4 ⁄ 5
  • Números enteros como 0, 1, y -3 (ya que estos se pueden escribir como 0 ⁄ 1, 1 ⁄ 1, y -3 ⁄ 1 respectivamente)
  • Decimales que terminan en 0.75 (que se puede escribir como 3 ⁄ 4)
  • Decimales recurrentes o repetitivos como 0.333... (que se puede expresar como 1 ⁄ 3)

Representación visual

Las representaciones visuales nos ayudan a entender la posición de los números racionales en la recta numérica. Exploremos cómo se integran los números racionales en el contexto más amplio de la recta numérica.

-3 -2 -1 0 1 2 3 0 1 2 3 1⁄2​ 3⁄2​

Descubrimiento de números racionales

Para entender los números racionales con más profundidad, consideremos varias categorías y ejemplos que ilustren sus propiedades.

Fracciones positivas y negativas

Los números racionales incluyen tanto fracciones positivas como negativas.

  • Ejemplo de fracción positiva: 7 ⁄ 8 es positivo porque tanto el numerador como el denominador tienen el mismo signo.
  • Ejemplo de fracción negativa: -5 ⁄ 4 es negativo porque el numerador es negativo mientras que el denominador es positivo.
  • Ejemplo de fracción negativa: 5 ⁄ -4 es negativo porque el numerador es positivo mientras que el denominador es negativo.
Positivo: 7⁄8​ Negativo: -5⁄4​

Números enteros como números racionales

Un número entero también puede considerarse un número racional. Esto se debe a que cualquier número entero x puede representarse como x ⁄ 1. Entonces, un número como 5 se puede representar como un número racional 5 ⁄ 1.

3 = 3 ⁄ 1 0 = 0 ⁄ 1 -2 = -2 ⁄ 1

Decimales terminados y recurrentes

Los decimales que terminan o se repiten también pueden considerarse racionales. Un decimal que termina tiene un número finito de dígitos después del punto decimal. Por ejemplo:

0.25 = 1 ⁄ 4 0.75 = 3 ⁄ 4 0.5 = 1 ⁄ 2

Un decimal recurrente es un decimal en el que algunos dígitos se repiten un número infinito de veces. Por ejemplo:

0.3333... = 1 ⁄ 3 0.6666... = 2 ⁄ 3 0.1252525... = 125 ⁄ 990

Números racionales en contexto del mundo real

Los números racionales son importantes en una variedad de contextos del mundo real. Considere cuando está cocinando y una receta requiere 2 ⁄ 3 tazas de azúcar. Necesitas medir cuidadosamente una fracción, lo que muestra claramente el uso cotidiano de los números racionales.

Otro ejemplo podría ser en cálculos financieros, como dividir una cuenta. Si un total de $50 debe dividirse entre cuatro amigos, cada persona contribuye con 50 ⁄ 4, lo que simplemente resulta en $12.50. Entonces, aunque se presenta en forma decimal, contextualmente es un número racional.

Propiedades de los números racionales

Los números racionales tienen varias propiedades especiales que los hacen únicos:

  • Propiedad de clausura: La suma o producto de dos números racionales también es un número racional. Por ejemplo 1 ⁄ 3 + 1 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2, un número racional.
  • Propiedad conmutativa: Los números racionales obedecen a la propiedad conmutativa bajo la suma y la multiplicación. Ejemplo: a ⁄ b + c ⁄ d = c ⁄ d + a ⁄ b
  • Propiedad asociativa: La suma y producto de números racionales son asociativos. Ejemplo: (a ⁄ b + c ⁄ d) + e ⁄ f = a ⁄ b + (c ⁄ d + e ⁄ f)
  • Propiedad distributiva: Los números racionales obedecen la ley distributiva, que es necesaria para abrir paréntesis. Ejemplo: a ⁄ b × (c ⁄ d + e ⁄ f) = (a ⁄ b × c ⁄ d) + (a ⁄ b × e ⁄ f)

Conclusión

Los números racionales son versátiles e integrales en el campo de las matemáticas. Al ser números que pueden expresarse como fracciones de enteros, permiten representar una amplia gama de valores, desde números enteros hasta decimales repetitivos. El sistema de notación, propiedades (como cierre, conmutativa, asociativa y distributiva), y su aplicabilidad a situaciones de la vida real realzan su importancia y utilidad en matemáticas. Con los ejemplos y ayudas visuales proporcionadas, esperamos arrojar luz sobre la generalidad y belleza de los números racionales en la recta numérica y más allá.


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Definición de números racionales

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