Целые числа

Понятие целых чисел является неотъемлемой частью математики, особенно когда мы углубляемся в понимание различных систем чисел. В этом всеобъемлющем руководстве мы постараемся объяснить всю концепцию целых чисел на самом простом языке. Мы рассмотрим их определения, свойства, операции и приложения. С множеством примеров и наглядных пособий эта статья нацелена на разложение потенциально сложной идеи целых чисел на понятный материал даже для новичков.

Что такое целые числа?

Целые числа — это набор чисел, который включает в себя все целые числа, как положительные, так и отрицательные, а также нуль. Их можно разместить на числовой линии, простирающейся до бесконечности в обоих направлениях. Целые числа можно определить как:

Числовая линия, представленная выше, показывает часть множества целых чисел, в которое входят некоторые положительные числа, отрицательные числа и ноль. Любая отметка на этой линии является целым числом. По мере движения вправо значимость чисел увеличивается, в то время как влево она уменьшается.

Типы целых чисел

Целые числа можно классифицировать на три основных типа:

Положительные целые числа

Это числа, которые больше нуля, такие как 1, 2, 3, 4 и так далее. Они находятся справа от нуля на числовой линии.

Отрицательные целые числа

Это числа, которые менее нуля, представлены как -1, -2, -3, -4 и так далее. На числовой линии они находятся слева от нуля.

Ноль

Ноль считается нейтральным; он не является ни положительным, ни отрицательным и является центральной точкой на числовой линии, отделяющей положительные целые числа от отрицательных.

Свойства целых чисел

Целые числа подчиняются нескольким основным свойствам, которые облегчают различные вычисления и операции. Эти свойства включают:

Замкнутость

Множество целых чисел замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Это означает, что если сложить, вычесть или умножить любые два целых числа, результат всегда будет целым числом.

Примеры: 
Сложение: 5 + (-3) = 2 
Вычитание: 7 - 10 = -3 
Умножение: (-4) * 2 = -8

Коммутативное свойство

Целые числа коммутативны относительно сложения и умножения. Это означает, что порядок чисел не влияет на результат.

Примеры: 
Сложение: 3 + (-2) = (-2) + 3 = 1 
Умножение: (-5) * 4 = 4 * (-5) = -20

Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство применяется к сложению и умножению целых чисел, что означает, что результат будет одинаковым независимо от того, как сгруппированы числа.

Примеры: 
Сложение: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 
Умножение: (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) = 24

Дистрибутивное свойство

Дистрибутивное свойство связывает умножение и сложение или вычитание, показывая, что умножение числа на группу чисел, сложенных вместе, дает тот же результат, что и умножение этого числа на каждое по отдельности с последующим сложением или вычитанием их.

Пример: 
a * (b + c) = (a * b) + (a * c) 
3 * (4 + 5) = (3 * 4) + (3 * 5) = 12 + 15 = 27

Операции с целыми числами

Работа с целыми числами аналогична работе с целыми числами, но особое внимание следует уделять знакам чисел.

Сложение

Следующие правила применяются при сложении целых чисел:

• Сумма двух положительных целых чисел является положительным числом.
• Сумма двух отрицательных целых чисел является отрицательным числом.
• Чтобы сложить положительное и отрицательное число, игнорируйте знак и вычтите меньшее число из большего, затем примите знак большего числа.

Примеры: 
5 + 7 = 12 
(-3) + (-6) = -9 
8 + (-3) = 5 (поскольку 8 больше, результат положительный) 
(-5) + 12 = 7 (поскольку 12 больше, результат положительный)

Вычитание

Вычитание целых чисел можно понимать как сложение противоположных:

• Чтобы вычесть положительное целое число, добавьте его отрицательный аналог.
• Чтобы вычесть отрицательное целое число, добавьте его положительный аналог.

Примеры: 
7 - 3 = 7 + (-3) = 4 
(-2) - 4 = (-2) + (-4) = -6 
6 - (-9) = 6 + 9 = 15

Умножение

При умножении целых чисел следующие правила применяются к знакам:

• Произведение двух положительных целых чисел является положительным.
• Произведение двух отрицательных целых чисел является положительным.
• Произведение положительного и отрицательного целых чисел является отрицательным.

Примеры: 
3 * 4 = 12 
(-2) * (-5) = 10 
7 * (-3) = -21

Деление

Правила деления такие же, как и для умножения в отношении знаков:

• Частное от деления двух положительных чисел является положительным.
• Частное от деления двух отрицательных чисел является положительным.
• Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным.

Примеры: 
10 / 2 = 5 
(-15) / (-3) = 5 
20 / (-4) = -5

Использование целых чисел в реальных жизненных ситуациях

Целые числа используются в различных реальных сценариях и ситуациях, часто для представления позиций или значений относительно базовой линии или данных. Примеры включают:

Температура

Целые числа часто используются в показаниях температуры, особенно при измерении по шкале Цельсия или Фаренгейта. Температуры ниже точки замерзания являются отрицательными.

Финансовые операции

В банковском деле и финансах целые числа используются для представления кредитов и займов. Отрицательный баланс указывает на кредит или непогашенный остаток.

Высоты

Географические высоты могут использовать целые числа, где уровень моря обозначается нулем. Выше уровня моря высоты положительные; ниже уровня моря - отрицательные.

Спортивные очки

Многие виды спорта и соревнования используют баллы, которые могут быть выражены как целые числа. Отрицательные баллы могут даваться в качестве штрафа.

Дальнейшие открытия

Изучая целые числа, можно исследовать дополнительные концепции, такие как модуль и интеграция целых чисел с другими математическими темами, такими как рациональные числа и алгебра. Абсолютное значение целого числа — это расстояние от нуля, независимо от направления, и оно всегда неотрицательное.

Понимание свойств и операций, связанных с целыми числами, является важной основой для более сложных математических тем, включая решение уравнений и неравенств, понимание пределов и работу с различными числовыми системами и математическими функциями.

комментарии