Inteiros
O conceito de inteiros é uma parte integral da matemática, especialmente quando nos aprofundamos na compreensão de diferentes sistemas numéricos. Neste guia abrangente, entenderemos o conceito inteiro de inteiros na linguagem mais simples possível. Analisaremos suas definições, propriedades, operações e aplicações. Com numerosos exemplos e recursos visuais, este artigo visa desmembrar a ideia potencialmente complexa dos inteiros em material compreensível até mesmo para iniciantes.
O que são inteiros?
Inteiros são um conjunto de números que inclui todos os números inteiros, tanto positivos quanto negativos, bem como o zero. Eles podem ser dispostos em uma linha numérica que se estende ao infinito em ambas as direções. Os inteiros podem ser definidos como:
A linha numérica dada acima mostra uma parte do conjunto de inteiros, que consiste em alguns números positivos, números negativos e zero. Qualquer sinal nesta linha é um inteiro. À medida que nos movemos para a direita, o valor dos números aumenta, enquanto seu valor diminui à medida que nos movemos para a esquerda.
Tipos de inteiros
Os inteiros podem ser classificados em três tipos principais:
Inteiros positivos
Esses são números maiores que zero, como 1, 2, 3, 4, etc. Eles estão à direita do zero na linha numérica.
Inteiros negativos
Esses são números menores que zero, representados como -1, -2, -3, -4, etc. Na linha numérica, eles estão à esquerda do zero.
Zero
O zero é considerado neutro; não é nem positivo nem negativo e é o ponto central na linha numérica que separa os inteiros positivos dos negativos.
Propriedades dos inteiros
Os inteiros obedecem a várias propriedades fundamentais que facilitam vários cálculos e operações. Essas propriedades incluem:
Propriedade do fechamento
O conjunto de inteiros é fechado sob adição, subtração e multiplicação. Isso significa que se você adicionar, subtrair ou multiplicar quaisquer dois inteiros, o resultado será sempre um inteiro.
Exemplos:
Adição: 5 + (-3) = 2
Subtração: 7 - 10 = -3
Multiplicação: (-4) * 2 = -8
Propriedade comutativa
Os inteiros são comutativos sob adição e multiplicação. Isso significa que a ordem dos números não afeta o resultado.
Exemplos:
Adição: 3 + (-2) = (-2) + 3 = 1
Multiplicação: (-5) * 4 = 4 * (-5) = -20
Propriedade associativa
A propriedade associativa aplica-se à adição e multiplicação de inteiros, significando que o resultado será o mesmo, independentemente de como os números são agrupados.
Exemplos:
Adição: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
Multiplicação: (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) = 24
Propriedade distributiva
A propriedade distributiva conecta multiplicação e adição ou subtração, mostrando que multiplicar um número por um grupo de números somados juntos resulta no mesmo que multiplicar esse número por cada um separadamente e então somar ou subtrair.
Exemplo:
a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
3 * (4 + 5) = (3 * 4) + (3 * 5) = 12 + 15 = 27
Operações com inteiros
Operar com inteiros é semelhante a operar com números inteiros, mas atenção especial deve ser dada aos sinais dos números.
Adição
As seguintes regras se aplicam ao adicionar inteiros:
- A soma de dois inteiros positivos é um inteiro positivo.
- A soma de dois inteiros negativos é um inteiro negativo.
- Para somar um número positivo e um número negativo, ignore o sinal e subtraia o número menor do número maior, depois adote o sinal do número maior.
Exemplos:
5 + 7 = 12
(-3) + (-6) = -9
8 + (-3) = 5 (visto que 8 é maior, o resultado é positivo)
(-5) + 12 = 7 (visto que 12 é maior, o resultado é positivo)
Subtração
A subtração de inteiros pode ser entendida como somar os opostos:
- Para subtrair um inteiro positivo, adicione o seu oposto negativo.
- Para subtrair um inteiro negativo, adicione o seu oposto positivo.
Exemplos:
7 - 3 = 7 + (-3) = 4
(-2) - 4 = (-2) + (-4) = -6
6 - (-9) = 6 + 9 = 15
Multiplicação
Ao multiplicar inteiros, as seguintes regras se aplicam aos sinais:
- O produto de dois inteiros positivos é positivo.
- O produto de dois inteiros negativos é positivo.
- O produto de um inteiro positivo e um inteiro negativo é negativo.
Exemplos:
3 * 4 = 12
(-2) * (-5) = 10
7 * (-3) = -21
Divisão
As regras da divisão são as mesmas da multiplicação no que se refere aos sinais:
- O quociente de dois inteiros positivos é positivo.
- O quociente de dois inteiros negativos é positivo.
- O quociente de um inteiro positivo e um inteiro negativo é negativo.
Exemplos:
10 / 2 = 5
(-15) / (-3) = 5
20 / (-4) = -5
Uso de inteiros em cenários do mundo real
Os inteiros são usados em uma variedade de cenários e situações do mundo real, muitas vezes para representar posições ou valores relativos a um ponto de referência ou dado. Exemplos incluem:
Temperatura
Os inteiros são frequentemente usados em leituras de temperatura, especialmente quando medidos na escala Celsius ou Fahrenheit. Temperaturas abaixo do ponto de congelamento são negativas.
Transações financeiras
No setor bancário e financeiro, os inteiros são usados para representar empréstimos e créditos. Um saldo negativo indica um empréstimo ou saldo devedor.
Elevações
As alturas geográficas podem usar inteiros, sendo o nível do mar zero. Acima do nível do mar, as alturas são positivas; abaixo do nível do mar, são negativas.
Pontuações esportivas
Muitos esportes e competições usam pontos que podem ser expressos como inteiros. Pontos negativos podem ser dados como penalidade.
Descobertas adicionais
Ao aprender sobre inteiros, pode-se explorar conceitos adicionais, como o valor absoluto e como os inteiros são integrados a outros tópicos matemáticos, como números racionais e álgebra. O valor absoluto de um inteiro é a distância a partir do zero, independentemente da direção, e é sempre não-negativo.
Entender as propriedades e operações envolvendo inteiros é essencial como base para tópicos matemáticos mais avançados, incluindo a resolução de equações e desigualdades, a compreensão de limites, e o trabalho com diferentes sistemas numéricos e funções matemáticas.