पूर्णांक

गणित में पूर्णांक की अवधारणा एक अभिन्न हिस्सा है, विशेष रूप से जब हम विभिन्न संख्या प्रणालियों को समझने में गहराई से जाते हैं। इस व्यापक मार्गदर्शिका में, हम पूर्णांक की पूरी अवधारणा को सबसे सरल भाषा में समझेंगे। हम उनकी परिभाषा, गुणधर्म, संचालन और अनुप्रयोगों को देखेंगे। कई उदाहरणों और दृश्य सहायक सामग्री के साथ, इस लेख का उद्देश्य पूर्णांक की संभावित जटिल अवधारणा को शुरुआती लोगों के लिए भी समझने योग्य सामग्री में बदलना है।

पूर्णांक क्या हैं?

पूर्णांक संख्याओं का एक सेट होता है जिसमें सभी पूर्णांक शामिल होते हैं, जैसे धनात्मक और ऋणात्मक संख्या, साथ ही शून्य भी। इन्हें एक संख्या रेखा पर रखा जा सकता है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक विस्तारित होती है। पूर्णांक को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

ऊपर दी गई संख्या रेखा पूर्णांक सेट का एक हिस्सा दिखाती है जिसमें कुछ धनात्मक संख्या, ऋणात्मक संख्या और शून्य शामिल हैं। इस रेखा पर कोई भी संकेत पूर्णांक होता है। जैसे ही हम दाईं ओर बढ़ते हैं, संख्याओं का मान बढ़ता है, जबकि बाईं ओर बढ़ते हुए उनका मान कम होता जाता है।

पूर्णांकों के प्रकार

पूर्णांकों को मुख्य रूप से तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

धनात्मक पूर्णांक

ये वे संख्याएं होती हैं जो शून्य से अधिक होती हैं, जैसे 1, 2, 3, 4, आदि। ये संख्या रेखा पर शून्य के दाईं ओर होती हैं।

ऋणात्मक पूर्णांक

ये वे संख्याएं होती हैं जो शून्य से कम होती हैं, जिन्हें -1, -2, -3, -4 आदि के रूप में दर्शाया जाता है। इनका अंकन संख्या रेखा पर शून्य के बाईं ओर होता है।

शून्य

शून्य को तटस्थ माना जाता है; यह न तो धनात्मक होता है और न ही ऋणात्मक, और यह संख्या रेखा पर वह केंद्रीय बिंदु होता है जो धनात्मक पूर्णांकों को ऋणात्मक पूर्णांकों से अलग करता है।

पूर्णांकों के गुणधर्म

पूर्णांक कई मौलिक गुणधर्मों का पालन करते हैं जो विभिन्न गणनाओं और संचालन को सुगम बनाते हैं। ये गुणधर्म हैं:

बंद होने की संपत्ति

पूर्णांकों का सेट जोड़, घटाव और गुणा के अधीन बंद है। इसका अर्थ है कि यदि आप किसी भी दो पूर्णांकों को जोड़ें, घटाएं या गुणा करें, तो परिणाम हमेशा एक पूर्णांक होगा।

उदाहरण: 
जोड़: 5 + (-3) = 2 
घटाव: 7 - 10 = -3 
गुणा: (-4) * 2 = -8

परिवर्तनीयता का गुणधर्म

पूर्णांक जोड़ और गुणा के अधीन परिवर्तनीय होते हैं। इसका अर्थ है कि संख्याओं के क्रम का परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

उदाहरण: 
जोड़: 3 + (-2) = (-2) + 3 = 1 
गुणा: (-5) * 4 = 4 * (-5) = -20

सहयोगिता का गुणधर्म

सहयोगिता का गुणधर्म पूर्णांकों के जोड़ और गुणा पर लागू होता है, जिसका अर्थ है कि संख्या कैसे भी समूहित की गई हों, परिणाम एक ही होगा।

उदाहरण: 
जोड़: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 
गुणा: (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) = 24

वितरण का गुणधर्म

वितरण का गुणधर्म गुणा और जोड़ या घटाव को जोड़ता है, दिखाते हुए कि संख्याओं को जोड़कर एक समूह से संख्या को गुणा करना उसी तरह का परिणाम देता है जैसे प्रत्येक संख्या को अलग-अलग गुणा करना और फिर उन्हें जोड़ना या घटाना।

उदाहरण: 
a * (b + c) = (a * b) + (a * c) 
3 * (4 + 5) = (3 * 4) + (3 * 5) = 12 + 15 = 27

पूर्णांकों के साथ संचालन

पूर्णांकों के साथ संचालन करना पूर्णांकों के साथ संचालन करने के समान होता है, लेकिन संख्याओं के संकेतों पर विशेष ध्यान देना पड़ता है।

जोड़

पूर्णांकों को जोड़ते समय निम्नलिखित नियम लागू होते हैं:

• दो धनात्मक पूर्णांकों का योग एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
• दो ऋणात्मक पूर्णांकों का योग एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
• धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के लिए, संकेत की उपेक्षा करें और बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाएं, फिर बड़ी संख्या के संकेत को लें।

उदाहरण: 
5 + 7 = 12 
(-3) + (-6) = -9 
8 + (-3) = 5 (क्योंकि 8 बड़ा है, परिणाम धनात्मक है) 
(-5) + 12 = 7 (क्योंकि 12 बड़ा है, परिणाम धनात्मक है)

घटाव

पूर्णांकों का घटाव विपरीतों को जोड़ने के रूप में समझा जा सकता है:

• किसी धनात्मक पूर्णांक को घटाने के लिए उसका ऋणात्मक समकक्ष जोड़ें।
• किसी ऋणात्मक पूर्णांक को घटाने के लिए उसका धनात्मक समकक्ष जोड़ें।

उदाहरण: 
7 - 3 = 7 + (-3) = 4 
(-2) - 4 = (-2) + (-4) = -6 
6 - (-9) = 6 + 9 = 15

गुणा

पूर्णांकों को गुणा करते समय, निम्नलिखित नियम संकेतों पर लागू होते हैं:

• दो धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होता है।
• दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल धनात्मक होता है।
• एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक का गुणनफल ऋणात्मक होता है।

उदाहरण: 
3 * 4 = 12 
(-2) * (-5) = 10 
7 * (-3) = -21

विभाजन

विभाजन के नियम संकेतों के संदर्भ में गुणा के समान होते हैं:

• दो धनात्मक पूर्णांकों का भागफल धनात्मक होता है।
• दो ऋणात्मक पूर्णांकों का भागफल धनात्मक होता है।
• एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक का भागफल ऋणात्मक होता है।

उदाहरण: 
10 / 2 = 5 
(-15) / (-3) = 5 
20 / (-4) = -5

वास्तविक जीवन परिदृश्यों में पूर्णांकों का उपयोग

पूर्णांक विभिन्न वास्तविक जीवन परिदृश्यों में उपयोग किए जाते हैं, अक्सर किसी आधार रेखा या मानक के सापेक्ष स्थितियों या मानों को दर्शाने के लिए। उदाहरणों में शामिल हैं:

तापमान

पूर्णांक अक्सर तापमान रीडिंग में इस्तेमाल किए जाते हैं, विशेष रूप से जब सेल्सियस या फारेनहाइट स्केल पर मापे जाते हैं। जमाव बिंदु से नीचे के तापमान ऋणात्मक होते हैं।

वित्तीय लेनदेन

बैंकिंग और वित्त में, ऋणों और क्रेडिट्स को दर्शाने के लिए पूर्णांकों का उपयोग किया जाता है।

उच्चताएं

भौगोलिक ऊँचाइयों में पूर्णांक हो सकते हैं, समुद्र स्तर शून्य होता है। समुद्र स्तर से ऊपर की ऊँचाइयां धनात्मक होती हैं; समुद्र स्तर से नीचे की ऊँचाइयां ऋणात्मक होती हैं।

खेल के स्कोर

कई खेलों और प्रतियोगिताओं में अंकों का उपयोग किया जाता है जो पूर्णांकों के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। दंड के रूप में ऋणात्मक अंक दिए जा सकते हैं।

आगे की खोज

पूर्णांक सीखने में, कोई अतिरिक्त अवधारणाओं का पता लगा सकता है जैसे परिमित मूल्य और अन्य गणितीय विषयों के साथ पूर्णांकों का एकीकरण, जैसे परिमेय संख्याएं और बीजगणित। किसी पूर्णांक का परिमित मूल्य शून्य से दूरी होती है, दिशा चाहे जो भी हो, और यह हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।

पूर्णांकों से संबंधित गुणधर्मों और संचालन को समझना अनिवार्य है क्योंकि यह अधिक उन्नत गणितीय विषयों के लिए आधार प्रदान करता है, जैसे समीकरणों और असामानताओं को हल करना, सीमाओं को समझना, और विभिन्न संख्या प्रणालियों और गणितीय कार्यों के साथ काम करना।

टिप्पणियाँ