पूर्णांक के अनुप्रयोग

पूर्णांक गणित का एक अनिवार्य हिस्सा हैं और हमारे जीवन में बहुत महत्वपूर्ण हैं। कक्षा 7 में, पूर्णांक और उनके अनुप्रयोगों को समझना अधिक उन्नत गणित विषयों के लिए एक मज़बूत नींव बनाने में महत्वपूर्ण होता है। पूर्णांक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं जो धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती हैं। इनके पास कोई भिन्न या दशमलव भाग नहीं होता है।

पूर्णांक क्या होते हैं?

सरल शब्दों में, पूर्णांक उन सभी संख्याओं को कहा जा सकता है जो संख्या रेखा पर होते हैं, जिसमें शून्य सहित कोई भिन्न या दशमलव नहीं होता है। एक पूर्णांक संख्या रेखा इस प्रकार दिखती है:

      ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...

धनात्मक पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जो शून्य से बड़ी होती हैं। वे किसी निश्चित मात्रा या मूल्य को दर्शाते हैं जैसे 1, 2, 3...

ऋणात्मक पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जो शून्य से छोटी होती हैं। वे किसी घटाव, हानि या ऋण को दर्शाते हैं जैसे -1, -2, -3...

शून्य तटस्थ होता है और यह धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों के बीच का विभाजक होता है।

पूर्णांक के चित्रण: संख्या रेखा

संख्या रेखा पूर्णांकों का एक दृश्य प्रस्तुतिकरण है जहां प्रत्येक पूर्णांक का एक विशिष्ट स्थान होता है। संख्या रेखा दोनों दिशाओं में अनंत तक विस्तारित होती है।

निम्नलिखित रेखा चित्रण पर विचार करें:

इस रेखा का उपयोग करके हम पूर्णांकों की आसानी से तुलना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 2 -3 से बड़ा है क्योंकि यह संख्या रेखा पर -3 के दाईं ओर प्रकट होता है।

वास्तविक जीवन में पूर्णांक के अनुप्रयोग

पूर्णांक हमारे दिन-प्रतिदिन के जीवन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। आइए कुछ सामान्य अनुप्रयोगों पर नज़र डालें:

थर्मामीटर

थर्मामीटर तापमान को दर्शाने के लिए पूर्णांकों का उपयोग करते हैं। धनात्मक मान शून्य से ऊपर के तापमान को दर्शाते हैं (उदाहरण के लिए, 25°C), जबकि ऋणात्मक मान शून्य से नीचे के तापमान को दर्शाते हैं (उदाहरण के लिए, -5°C)।

बैंकिंग और वित्त

बैंक शेष राशि में पूर्णांक जमा और निकासी दर्शाते हैं। एक धनात्मक शेष क्रेडिट का अर्थ होता है (उदाहरण के लिए, +500 डॉलर), और एक ऋणात्मक शेष ऋण का अर्थ होता है (उदाहरण के लिए, -200 डॉलर)।

खेल

खेल में, स्कोर और रैंकिंग दर्शाने के लिए पूर्णांकों का प्रयोग होता है। उदाहरण के लिए, गोल्फ में, एक धनात्मक स्कोर पार से कम का मतलब होता है, जबकि एक ऋणात्मक स्कोर, जैसे -3, यह दर्शाता है कि खिलाड़ी पार से तीन स्ट्रोक्स नीचे है।

ऊंचाई और गहराई

समुद्र तल से ऊपर की ऊंचाइयाँ धनात्मक पूर्णांक के रूप में दर्शाई जाती हैं, जबकि समुद्र तल से नीचे की गहराइयाँ ऋणात्मक पूर्णांक द्वारा दर्शाई जाती हैं। उदाहरण के लिए, माउंट एवरेस्ट +8,848 मीटर हो सकता है, और मृत सागर -430 मीटर हो सकता है।

पूर्णांकों के साथ अंकगणितीय संचालन

अंकगणितीय संचालन जैसे जोड़, घटाव, गुणा, और विभाजन को पूर्णांकों के साथ किया जा सकता है।

जोड़

पूर्णांकों को जोड़ने का मतलब संख्याओं को संयुक्त करना होता है:

        4 + (-2) = 2

संख्या रेखा पर, यह चार कदम आगे बढ़ना और दो कदम पीछे जाना है 2 तक पहुंचने के लिए।

घटाव

पूर्णांकों को घटाना विरोधियों को जोड़ने के बराबर होता है:

        5 - (-3) = 8

यहाँ -3 घटाना धनात्मक 3 जोड़ने के बराबर है। इसलिए, परिणाम 8 है।

गुणा

पूर्णांकों को गुणा करते समय, यदि दो संख्याओं के चिन्ह समान हो तो उत्पाद धनात्मक होता है और यदि चिन्ह अलग होते हैं तो उत्पाद ऋणात्मक होता है:

        (-6) * 5 = -30
        7 * (-3) = -21
        (-4) * (-2) = 8

विभाजन

गुणा की तरह, पूर्णांकों का विभाजन भी चिन्ह नियमों का पालन करता है। भागफल धनात्मक होता है यदि दोनों चिन्ह समान होते हैं और ऋणात्मक यदि वे अलग होते हैं:

        (-15) / 3 = -5
        40 / (-8) = -5
        (-28) / (-4) = 7

पूर्णांकों पर संचालन का विज़ुअलीकरण

आइए इन कार्यों को ग्राफ़िक रूप में देखें:

ऊपर के ग्राफिक में:

• लाल रेखा -4 से 0 तक की बढ़ोत्तरी को दर्शाती है, जो 4 जोड़ने से देखा जा सकता है।
• नीली रेखा 0 से 2 तक की बढ़ोत्तरी दर्शाती है, जो 2 का योग है।
• हरी रेखा 2 से 4 तक की गति को दर्शाती है, जो 2 के एक अतिरिक्त गुणक के रूप में है।

प्रोग्रामिंग में पूर्णांक

पूर्णांक न केवल गणितीय गणनाओं में बल्कि प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर विज्ञान में भी मौलिक होते हैं। इन क्षेत्रों में, पूर्णांक चक्रों की गणना और नियंत्रण, शर्तों को व्यक्त करने, और स्मृति में डेटा को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

यहाँ प्रोग्रामिंग में पूर्णांक का उपयोग करके चक्रों की संख्या दर्शाने का एक सरल उदाहरण है:

        for(int i=0; i<5; i++) {
            console.log("Iteration: " + i);
        ,

इस कोड में, i एक पूर्णांक है जो 0 से 4 तक की चक्रों की संख्या को इंगित करता है (कुल 5 चक्र)।

पूर्णांकों के साथ वास्तविक-विश्व समस्याओं का समाधान

मूल्य परिवर्तनों से जुड़ी वास्तविक-विश्व समस्याओं को अक्सर पूर्णांकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 1: तापमान परिवर्तन

माना एक शहर का तापमान सुबह -2°C से दोपहर में 5°C हो जाता है। तापमान परिवर्तन की गणना करें।

        तापमान परिवर्तन = दोपहर का तापमान - सुबह का तापमान
                          = 5 - (-2)
                          = 5 + 2
                          = 7° सेल्सियस

तापमान 7°C बढ़ गया।

उदाहरण 2: वित्तीय लेन-देन

यदि किसी व्यक्ति के पास +200 डॉलर का बैंक बैलेंस है और वह निम्नलिखित लेन-देन करते हैं: $150 की निकासी, $100 की जमा, और $75 की निकासी। अंतिम शेष राशि क्या होगी?

        उद्घाटन शेष = +200
        निकासी = -150
        जमा राशि = +100
        सफ़ाई = -75

        अंतिम शेष राशि = 200 – 150 + 100 – 75
                     = 75 + 100 - 75
                     = 100 डॉलर

अंतिम बैंक शेष राशि $100 है।

उदाहरण 3: ऊंचाई का अंतर

यदि एक विमान 10,000 मीटर से 2,500 मीटर नीचे उतरता है, तो ऊंचाई में कितनी अंतर होगी?

        ऊंचाई का अंतर = प्रारंभिक ऊंचाई – अंतिम ऊंचाई
                            = 10,000 - 2,500
                            = 7,500 मीटर

विमान ने 7,500 मीटर की ऊंचाई पर नीचे उतरा।

पूर्णांक के अभाज्य मान को समझना

किसी पूर्णांक का अभाज्य मान संख्या रेखा पर शून्य से उसकी दूरी होती है, उसके चिन्ह के बावजूद । अभाज्य मापदंड को वर्टिकल बार्स, जैसे |x| द्वारा दर्शाया जाता है।

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

        |-5| = 5
        |8| = 8

-5 का अभाज्य मान 5 है, और 8 का अभाज्य मान सिर्फ 8 है।

सारांश

पूर्णांक गणित और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में मौलिक होते हैं। बुनियादी अंकगणितीय संचालन से लेकर वास्तविक-विश्व समस्याओं के समाधान तक, पूर्णांकों की बहुमुखी प्रतिभा उन्हें शिक्षा और उसके बाद के हिस्से का एक अभिन्न अंग बनाती है। यह समझकर कि पूर्णांक कैसे कार्य करते हैं और उनके दैनिक जीवन में अनुप्रयोगों को पहचान कर, छात्र अपनी समस्या को सुलझाने की योग्यता में सुधार कर सकते हैं।

दृश्य मॉडल्स, वास्तविक जीवन परिदृश्य, और अंकगणितीय गणनाओं के माध्यम से, छात्र इन अवधारणाओं को प्रभावी ढंग से समझ सकते हैं, और अधिक जटिल गणितीय सिद्धांतों के लिए नींव रख सकते हैं।

चाहे आप खातों का ध्यान रख रहे हों, यात्रा की ऊंचाई की योजना बना रहे हों, या तापमान में बदलावों की गणना कर रहे हों, पूर्णांक विभिन्न संदर्भों में समस्या समाधान के लिए एक संगठित, संख्यात्मक दृष्टिकोण प्रदान करते हैं।

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