整数の演算

数学が進むにつれて、学生が整数演算を理解することが重要です。整数は、正の数、負の数、ゼロを含む整数です。基本的な算術演算は、加算、減算、乗算、および除算の4つです。これらの演算は、整数に対してさまざまな方法で実行でき、これらの演算が整数にどのように影響するかを理解することが重要です。

整数の加算

整数の加算は、値を組み合わせることです。主なポイントは、正と負の数の取り扱い方法です:

• 正 + 正: 数字が一緒に加算され、より正になります。
• 負 + 負: 数字が一緒に加算され、より負になります。
• 正 + 負 (または 負 + 正): 数字は基本的に互いに打ち消し合い、差を取ります。結果の符号は、大きな絶対値の符号になります。

合計例

例1: 5 + 3 = 8
例2: (-4) + (-2) = -6
例3: 7 + (-9) = -2
例4: (-3) + 5 = 2

視覚例：

加算がバケツの中の石の数を表すと考えると、負の数を加えることは石を取り除くことを意味します。

+--------+    +--------+    +--------+ 
|    +3   | +  |   +4    | =  |   +7    |  両方とも正
+--------+    +--------+    +--------+

+--------+    +--------+    +--------+
|   -4    | +  |   -3    | =  |   -7   |  両方とも負
+--------+    +--------+    +--------+

+--------+    +--------+    +--------+
|   +5    | +  |   -6    | =  |   -1   |  符号が異なる
+--------+    +--------+    +--------+

整数の減算

整数の減算は加算と密接に関連しています。実際、減算は反対の数を追加することとして理解できます。例えば、ある数を引くことは、その数の負の対応を加えることと同じです。

• 正 - 正: 数字を引きます。最初の数が小さい場合、結果は負になります。
• 負 - 負: 数字を引きます。最初の数がより負（または絶対値が大きい場合）の場合、結果は大きな絶対値を示します。
• 正 - 負: この操作は加算に変わります。例えば、(a - (-b)) は (a + b) になります。
• 負 - 正: この操作は通常、より負の結果となります。

減算例

例1: 9 - 5 = 4
例2: (-6) - (-4) = -2
例3: 7 - (-3) = 10
例4: (-8) - 5 = -13

視覚例：

バケツにビー玉を入れることが加算を表すと考えるなら、減算ではビー玉を取り出すことが次のように見なせます：

+--------+  -  +--------+  =  +--------+
|   +5    |    |    +3   |    |    +2   |
+--------+     +--------+     +--------+

+--------+  -  +--------+  =  +--------+
|   -4    |    |   -2    |    |   -2   |
+--------+     +--------+     +--------+

+--------+  -  +--------+  =  +--------+
|   +9    |    |  -(-4) |    |   +13   |
+--------+     +--------+     +--------+

整数の乗算

整数の乗算は、積の符号に関する簡単なルールに従います：

• 正 × 正: 積は正。
• 負 × 負: 積は正。
• 正 × 負 (または 負 × 正): 積は負。

乗算例

例1: 4 × 3 = 12
例2: (-3) × (-2) = 6
例3: 5 × (-4) = -20
例4: (-6) × 7 = -42

視覚例：

乗算を繰り返し加算または拡張と考えてみましょう：

4 * 3
+--------+  *  +--------+    |   +12   |
|   +12   |    |   +12   |
+--------+     +--------+

-3 * -2
+--------+  *  +--------+    |   + 6    |
|   +6    |    |   +6    |
+--------+     +--------+

5 * -4
+--------+  *  +--------+    |  -20    |
|  -20    |    |  -20    |
+--------+     +--------+

整数の除算

整数の除算も、商の符号に関する特別なルールに従います：

• 正 ÷ 正: 商は正。
• 負 ÷ 負: 商は正。
• 正 ÷ 負 (または 負 ÷ 正): 商は負。

分割例

例1: 8 ÷ 2 = 4
例2: (-12) ÷ (-3) = 4
例3: 18 ÷ (-2) = -9
例4: (-15) ÷ 5 = -3

視覚例：

除算を乗算の逆、またはオブジェクトを均等なグループに分けることとして考えてみましょう：

8 ÷ 2 = 4
+--------+  ÷  +-------+ = +--------+
|   +8    |   |   +2   |   |   +4   |
+--------+     +-------+   +--------+

-12 ÷ -3 = 4
+--------+  ÷  +-------+ = +--------+
|  -12    |   |   -3   |   |   +4   |
+--------+     +-------+   +--------+

18 ÷ -2 = -9
+--------+  ÷  +-------+ = +--------+
|   18    |   |   -2   |   |   -9   |
+--------+     +-------+   +--------+

結論

整数の演算をマスターすることは、より複雑な方程式や問題を解くための基本です。これらの演算を行う際は、符号のルールを覚えておいてください。

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