पूर्णांक पर संक्रियाएँ

गणित में उन्नति के लिए छात्रों के लिए यह समझना महत्वपूर्ण है कि पूर्णांकों पर कैसे संक्रियाएँ की जाती हैं। पूर्णांक पूरे संख्याएँ होती हैं जिनमें धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल होते हैं। चार बुनियादी गणितीय संक्रियाएँ हैं, जोड़, घटाव, गुणन और भाग। इन सभी संक्रियाओं को पूर्णांकों पर अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है, और यह समझना महत्वपूर्ण है कि ये संक्रियाएँ पूर्णांकों को कैसे प्रभावित करती हैं।

पूर्णांकों का जोड़

पूर्णांकों का जोड़ संख्याओं को जोड़ने का कार्य है। मुख्य बात यह याद रखने की है कि धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को कैसे संभाला जाता है:

• Positive + Positive: जोडने पर संख्याएँ अधिक धनात्मक हो जाती हैं।
• Negative + Negative: जोडने पर संख्याएँ अधिक ऋणात्मक हो जाती हैं।
• Positive + Negative (या Negative + Positive): संख्याएँ एक-दूसरे को वास्तविकता में रद्द कर देती हैं, और आप अंतर लेते हैं। परिणाम का चिह्न बड़े मापांक मान का चिह्न होगा।

जोड़ के उदाहरण

उदाहरण 1: 5 + 3 = 8
उदाहरण 2: (-4) + (-2) = -6
उदाहरण 3: 7 + (-9) = -2
उदाहरण 4: (-3) + 5 = 2

दृश्य उदाहरण:

दो बाल्टियों पर विचार करें जहां पूर्णांकों का जोड़ बकेट्स में पत्थरों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का मतलब पत्थरों को निकालना होता है।

+--------+    +--------+    +--------+ 
|    +3   | +  |   +4    | =  |   +7    |  दोनों धनात्मक हैं 
+--------+    +--------+    +--------+

+--------+    +--------+    +--------+
|   -4    | +  |   -3    | =  |   -7   |  दोनों ऋणात्मक हैं 
+--------+    +--------+    +--------+

+--------+    +--------+    +--------+
|   +5    | +  |   -6    | =  |   -1   |  मिश्र संकेत 
+--------+    +--------+    +--------+

पूर्णांकों का घटाव

पूर्णांकों का घटाव जोड़ के बहुत निकट होता है। वास्तव में, घटाव को विषम जोड़ की तरह समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी संख्या को घटाना उसके ऋणात्मक समकक्ष को जोड़ने के समान है।

• Positive - Positive: संख्याएँ घटाएँ; यदि पहली संख्या छोटी है, तो परिणाम ऋणात्मक होगा।
• Negative - Negative: संख्याएँ घटाएँ; यदि पहली संख्या अधिक ऋणात्मक है (या कम ऋणात्मक परंतु बड़े मापांक मान के साथ), तो परिणाम बड़े मापांक मान को दिखाता है।
• Positive - Negative: यह संक्रिया जोड़ में बदल जाती है। उदाहरण के लिए, (a - (-b)) बन जाता है (a + b)।
• Negative - Positive: यह संक्रिया साधारणतः अधिक ऋणात्मक परिणाम देती है।

घटाव के उदाहरण

उदाहरण 1: 9 - 5 = 4
उदाहरण 2: (-6) - (-4) = -2
उदाहरण 3: 7 - (-3) = 10
उदाहरण 4: (-8) - 5 = -13

दृश्य उदाहरण:

यदि बाल्टियों में कंचों को डालना जोड़ का प्रतिनिधित्व करता है, तो घटाव के लिए कंचों को निकालना ऐसे देखा जा सकता है:

+--------+  -  +--------+  =  +--------+
|   +5    |    |    +3   |    |    +2   |
+--------+     +--------+     +--------+

+--------+  -  +--------+  =  +--------+
|   -4    |    |   -2    |    |   -2   |
+--------+     +--------+     +--------+

+--------+  -  +--------+  =  +--------+
|   +9    |    |  -(-4) |    |   +13   |
+--------+     +--------+     +--------+

पूर्णांकों का गुणा

पूर्णांकों का गुणा उत्पाद के चिह्न से संबंधित सरल नियमों का पालन करता है:

• Positive × Positive: उत्पाद धनात्मक होता है।
• Negative × Negative: उत्पाद धनात्मक होता है।
• Positive × Negative (या Negative × Positive): उत्पाद ऋणात्मक होता है।

गुणा के उदाहरण

उदाहरण 1: 4 × 3 = 12
उदाहरण 2: (-3) × (-2) = 6
उदाहरण 3: 5 × (-4) = -20
उदाहरण 4: (-6) × 7 = -42

दृश्य उदाहरण:

गुणा को पुनरावृत्ति जोड़ या विस्तार की तरह समझें:

4 * 3
+--------+  *  +--------+    |   +12   |
|   +12   |    |   +12   |
+--------+     +--------+

-3 * -2
+--------+  *  +--------+    |   + 6    |
|   +6    |    |   +6    |
+--------+     +--------+

5 * -4
+--------+  *  +--------+    |  -20    |
|  -20    |    |  -20    |
+--------+     +--------+

पूर्णांकों का विभाजन

पूर्णांकों का विभाजन भागफल के चिह्न से संबंधित विशेष नियमों का पालन करता है:

• Positive ÷ Positive: भागफल धनात्मक है।
• Negative ÷ Negative: भागफल धनात्मक है।
• Positive ÷ Negative (या Negative ÷ Positive): भागफल ऋणात्मक है।

विभाजन के उदाहरण

उदाहरण 1: 8 ÷ 2 = 4
उदाहरण 2: (-12) ÷ (-3) = 4
उदाहरण 3: 18 ÷ (-2) = -9
उदाहरण 4: (-15) ÷ 5 = -3

दृश्य उदाहरण:

विभाजन को गुणा के विपरीत समझें, या वस्तुओं को समान समूहों में बांटना समझें:

8 ÷ 2 = 4
+--------+  ÷  +-------+ = +--------+
|   +8    |   |   +2   |   |   +4   |
+--------+     +-------+   +--------+

-12 ÷ -3 = 4
+--------+  ÷  +-------+ = +--------+
|  -12    |   |   -3   |   |   +4   |
+--------+     +-------+   +--------+

18 ÷ -2 = -9
+--------+  ÷  +-------+ = +--------+
|   18    |   |   -2   |   |   -9   |
+--------+     +-------+   +--------+

निष्कर्ष

पूर्णांकों पर संक्रियाओं का निपुणता गणित में मौलिक है और अधिक जटिल समीकरणों और समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। कृपया इन संक्रियाओं को करते समय संकेतों के नियमों को याद रखें।

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