Свойства целых чисел

Целые числа являются фундаментальной частью математики, полезной при счете, упорядочивании и выполнении основных арифметических операций. Целые числа могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Понимание свойств целых чисел может помочь решать разнообразные математические задачи. В этом уроке мы подробно обсудим основные свойства целых чисел, иллюстрируя каждое из них примерами и графическими материалами.

Понимание целых чисел

Прежде чем углубиться в свойства, давайте кратко разберемся, что такое целые числа. Целые числа — это набор чисел, который включает ноль (0), положительные числа (1, 2, 3,...) и отрицательные числа (-1, -2, -3,...). Они не имеют дробной или десятичной части.

Свойства целых чисел

1. Свойство замкнутости

Свойство замкнутости утверждает, что когда вы выполняете любую операцию (например, сложение, вычитание или умножение) над любыми двумя целыми числами, результат всегда будет целым числом.

Сложение: Сумма двух целых чисел всегда будет целым числом.

Например, если сложить 
3 + 5 = 8
-4 + (-6) = -10

Вычитание: Разность между двумя целыми числами также является целым числом.

Примеры:
5 - 3 = 2
-8 - (-3) = -5

Умножение: Произведение двух целых чисел является целым числом.

Например:
4 * (-3) = -12
(-6) * (-2) = 12

Примечание: При делении целых чисел результат не всегда является целым числом (например, 1 / 2 = 0.5, что не является целым числом). Поэтому свойство замкнутости не распространяется на деление.

2. Коммутативное свойство

Коммутативное свойство относится к сложению и умножению, показывая, что порядок чисел не изменяет результата.

Сложение: a + b = b + a

Пример:
5 + 3 = 3 + 5
=> 8 = 8

Умножение: a * b = b * a

Пример: 
4 * (-2) = (-2) * 4
=> -8 = -8

Коммутативное свойство не распространяется на вычитание и деление:

5 - 3 ≠ 3 - 5
9 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 9

3. Ассоциативное свойство

Ассоциативное свойство целых чисел также распространяется на сложение и умножение, то есть способ, которым числа группируются, не изменяет их суммы или произведения.

Сумма: (a + b) + c = a + (b + c)

Пример:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
=> 5 + 4 = 2 + 7
=> 9 = 9

Умножение: (a * b) * c = a * (б * c)

Пример: 
(5 * 2) * 3 = 5 * (2 * 3)
=> 10 * 3 = 5 * 6
=> 30 = 30

Ассоциативное свойство не распространяется на вычитание и деление, как можно увидеть в примерах ниже:

(6 – 4) – 2 ≠ 6 – (4 – 2)
(12 ÷ 2) ÷ 2 ≠ 12 ÷ (2 ÷ 2)

4. Свойство идентичности

Свойство идентичности целых чисел описывает числа, которые не изменяют значение другого числа при использовании в операции.

Сложение (Аддитивная идентичность): число 0 является аддитивной идентичностью, потому что любое целое число остается неизменным, когда к нему прибавляется ноль.

Пример: 
7 + 0 = 7
-9 + 0 = -9

Умножение (Мультипликативная идентичность): число 1 является мультипликативной идентичностью, потому что любое целое число остается неизменным, когда оно умножается на единицу.

Пример:
8 * 1 = 8
-3 * 1 = -3

5. Распределительное свойство

Распределительное свойство соединяет сложение и умножение, и оно показывает, как умножать сумму, умножая каждое слагаемое отдельно, а затем складывая произведения.

a * (b + c) = a * b + a * c

Пример:
2 * (3 + 4) = 2*3 + 2*4
=> 2 * 7 = 6 + 8
=> 14 = 14

Визуальное представление свойств

Давайте проиллюстрируем коммутативное свойство наглядно:

Вот иллюстрация, показывающая распределительное умножение по сложению:

Иллюстративные примеры и упражнения

Примерные задачи

Давайте упрочим наше понимание через примерные задачи:

1. Пример 1 - Использование свойства замкнутости:

   Если a = 7 и b = -3, чему равно a + b? Является ли результат целым числом?

   a + b = 7 + (-3) = 4
   Поскольку 4 является целым числом, свойство замкнутости верно.
           

2. Пример 2 – Использование коммутативного свойства:

   Проверьте: 5 + (-3) = -3 + 5

   5 + (-3) = 2
   -3 + 5 = 2
   Обе формулы идентичны, что подтверждает коммутативное свойство.
           

3. Пример 3 - Использование ассоциативного свойства:

   Вычислите и проверьте: (-1 + 4) + 2 = -1 + (4 + 2)

   (-1 + 4) + 2 = 3 + 2 = 5
   -1 + (4 + 2) = -1 + 6 = 5
   Обе формулы дают результат 5, что подтверждает ассоциативное свойство.
           

4. Пример 4 - Использование свойства идентичности:

   Покажите, что результат 10 + 0 и -5 * 1 равен тому же числу.

   10 + 0 = 10
   -5 * 1 = -5
   Это показывает как аддитивное, так и мультипликативное свойство идентичности.
           

5. Пример 5 - Использование распределительного свойства:

   Проверьте: 3 * (2 + 4) = 3*2 + 3*4

   3 * (2 + 4) = 3 * 6 = 18
   3*2 + 3*4 = 6 + 12 = 18
   Обe стороны равны, что подтверждает распределительное свойство.
           

Упражнения для практики

• Используйте свойство замкнутости, чтобы подтвердить, что 8 - 5 является целым числом.
• Продемонстрируйте коммутативное свойство с -4 + 10 и 10 + (-4).
• Используйте ассоциативное свойство, чтобы решить: (-6 + 2) + 5 и -6 + (2 + 5).
• Примените свойство идентичности, чтобы показать, что добавление 0 к любому числу не изменяет его.
• Используйте распределительное свойство, чтобы упростить 4 * (5 + 3)

Заключительные замечания

Свойства целых чисел, такие как замкнутость, коммутативность, ассоциативность, идентичность и распределительность, составляют основу арифметических операций. Эти свойства не только упрощают вычисления, но и помогают доказывать сложные математические теоремы. Тщательное понимание этих свойств дает студентам необходимые инструменты для уверенной работы с числами и обеспечивает прочную основу для более сложной математики.

комментарии