Propriedades dos inteiros

Os inteiros são uma parte fundamental da matemática, úteis na contagem, ordenação e aritmética básica. Os inteiros podem ser positivos, negativos ou zero. Compreender as propriedades dos inteiros pode ajudar a resolver uma variedade de problemas matemáticos. Nesta lição, discutiremos em profundidade as propriedades essenciais dos inteiros, ilustrando cada uma com exemplos e recursos visuais.

Compreendendo os inteiros

Antes de mergulharmos nas propriedades, vamos entender brevemente o que são inteiros. Os inteiros são um conjunto de números que inclui zero (0), números positivos (1, 2, 3,...) e números negativos (-1, -2, -3,...). Eles não possuem partes fracionárias ou decimais.

Propriedades dos inteiros

1. Propriedade de fechamento

A propriedade de fechamento afirma que quando você realiza qualquer operação (como adição, subtração ou multiplicação) em dois inteiros, o resultado será sempre um inteiro.

Adição: A soma de dois inteiros será sempre um inteiro.

Por exemplo, se você somar 
3 + 5 = 8
-4 + (-6) = -10

Subtração: A diferença entre dois inteiros também é um inteiro.

Os exemplos incluem:
5 - 3 = 2
-8 - (-3) = -5

Multiplicação: O produto de dois inteiros é um inteiro.

Por exemplo:
4 * (-3) = -12
(-6) * (-2) = 12

Nota: A divisão de inteiros às vezes não resulta em um inteiro (por exemplo, 1 / 2 = 0,5, que não é um inteiro). Portanto, a propriedade de fechamento não se aplica à divisão.

2. Propriedade comutativa

A propriedade comutativa se relaciona à adição e multiplicação, demonstrando que a ordem dos números não altera o resultado.

Adição: a + b = b + a

Exemplo:
5 + 3 = 3 + 5
=> 8 = 8

Multiplicação: a * b = b * a

Exemplo: 
4 * (-2) = (-2) * 4
=> -8 = -8

A propriedade comutativa não se aplica à subtração e divisão:

5 - 3 ≠ 3 - 5
9 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 9

3. Propriedade associativa

A propriedade associativa dos inteiros também se aplica à adição e multiplicação, ou seja, a forma como os números são agrupados não altera sua soma ou produto.

Soma: (a + b) + c = a + (b + c)

Exemplo:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
=> 5 + 4 = 2 + 7
=> 9 = 9

Multiplicação: (a * b) * c = a * (b * c)

Exemplo: 
(5 * 2) * 3 = 5 * (2 * 3)
=> 10 * 3 = 5 * 6
=> 30 = 30

A propriedade associativa não se aplica à subtração e divisão, como pode ser visto nos exemplos abaixo:

(6 – 4) – 2 ≠ 6 – (4 – 2)
(12 ÷ 2) ÷ 2 ≠ 12 ÷ (2 ÷ 2)

4. Propriedade de identidade

A propriedade de identidade dos inteiros descreve números que não alteram o valor de outro número quando usados em uma operação.

Adição (Identidade Aditiva): O número 0 é a identidade aditiva porque qualquer inteiro permanece inalterado quando zero é adicionado a ele.

Exemplo: 
7 + 0 = 7
-9 + 0 = -9

Multiplicação (Identidade Multiplicativa): O número 1 é a identidade multiplicativa porque qualquer inteiro permanece inalterado quando multiplicado por um.

Exemplo:
8 * 1 = 8
-3 * 1 = -3

5. Propriedade distributiva

A propriedade distributiva conecta a adição à multiplicação, e nos diz como multiplicar uma soma multiplicando cada parcela separadamente e depois somando os produtos.

a * (b + c) = a * b + a * c

Exemplo:
2 * (3 + 4) = 2*3 + 2*4
=> 2 * 7 = 6 + 8
=> 14 = 14

Representação visual das propriedades

Vamos ilustrar a propriedade comutativa através de um recurso visual:

Aqui está uma ilustração mostrando a multiplicação distribuída sobre a adição:

Exemplos ilustrativos e exercícios

Problemas de exemplo

Vamos aprimorar nosso entendimento através de problemas de exemplo:

1. Exemplo 1 - Usando a Propriedade de Fechamento:

   Se a = 7 e b = -3, qual é a + b? O resultado é um inteiro?

   a + b = 7 + (-3) = 4
   Como 4 é um inteiro, a propriedade de fechamento é verdadeira.
           

2. Exemplo 2 – Uso da Propriedade Comutativa:

   Verifique: 5 + (-3) = -3 + 5

   5 + (-3) = 2
   -3 + 5 = 2
   Ambas as expressões são equivalentes, o que confirma a propriedade comutativa.
           

3. Exemplo 3 - Usando a Propriedade Associativa:

   Calcule e verifique: (-1 + 4) + 2 = -1 + (4 + 2)

   (-1 + 4) + 2 = 3 + 2 = 5
   -1 + (4 + 2) = -1 + 6 = 5
   Ambos os cálculos fornecem o resultado 5, o que confirma a propriedade associativa.
           

4. Exemplo 4 - Uso da Propriedade de Identidade:

   Mostre que o resultado de 10 + 0 e -5 * 1 é o mesmo número.

   10 + 0 = 10
   -5 * 1 = -5
   Mostra tanto as propriedades de identidade aditiva quanto multiplicativa.
           

5. Exemplo 5 - Usando a Propriedade Distributiva:

   Verifique: 3 * (2 + 4) = 3*2 + 3*4

   3 * (2 + 4) = 3 * 6 = 18
   3*2 + 3*4 = 6 + 12 = 18
   Ambos os lados são iguais, o que confirma a propriedade distributiva.
           

Exercícios para prática

• Use a Propriedade de Fechamento para verificar se 8 - 5 é um inteiro.
• Mostre a propriedade comutativa com -4 + 10 e 10 + (-4).
• Use a propriedade associativa para resolver: (-6 + 2) + 5 e -6 + (2 + 5).
• Aplique a propriedade de identidade para mostrar que adicionar 0 a qualquer número não o altera.
• Use a Propriedade Distributiva para simplificar 4 * (5 + 3)

Considerações finais

As propriedades dos inteiros, como fechamento, comutativa, associativa, identidade e distributiva, formam a base das operações aritméticas. Essas propriedades não apenas facilitam os cálculos, mas também ajudam na demonstração de teoremas matemáticos complexos. Um entendimento aprofundado dessas propriedades oferece aos alunos as ferramentas necessárias para lidar com números com confiança e fornece uma base sólida para uma matemática mais avançada.

Comentários