पूर्णांकों के गुण

गणित में पूर्णांक एक मौलिक हिस्सा होते हैं, जो गिनती, क्रम और बुनियादी अंकगणित में उपयोगी होते हैं। पूर्णांक सकारात्मक, नकारात्मक, या शून्य हो सकते हैं। पूर्णांकों के गुणों को समझने से विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में मदद मिल सकती है। इस पाठ में, हम पूर्णांकों के आवश्यक गुणों की गहराई से चर्चा करेंगे, प्रत्येक को उदाहरणों और दृश्य सहायक साधनों के साथ चित्रित करेंगे।

पूर्णांकों को समझना

गुणों में गहराई से जाने से पहले, आइए संक्षेप में समझें कि पूर्णांक क्या हैं। पूर्णांक संख्याओं का एक सेट है जिसमें शून्य (0), सकारात्मक संख्याएँ (1, 2, 3,...) और नकारात्मक संख्याएँ (-1, -2, -3,...) शामिल होती हैं। इनका कोई आंशिक या दशमलव भाग नहीं होता है।

पूर्णांकों के गुण

1. बंद गुण

बंद गुण यह बताता है कि जब आप किसी भी दो पूर्णांकों पर कोई भी क्रिया (जैसे जोड़, घटाव, या गुणा) करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक पूर्णांक होगा।

जोड़: दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक होगा।

उदाहरण के लिए, अगर आप जोड़ते हैं
3 + 5 = 8
-4 + (-6) = -10

घटाव: दो पूर्णांकों का अंतर भी एक पूर्णांक है।

उदाहरण शामिल हैं:
5 - 3 = 2
-8 - (-3) = -5

गुणा: दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक है।

उदाहरण के लिए:
4 * (-3) = -12
(-6) * (-2) = 12

नोट: पूर्णांकों का विभाजन कभी-कभी पूर्णांक नहीं देता है (उदाहरण के लिए, 1 / 2 = 0.5, जो कि एक पूर्णांक नहीं है)। इसलिए, पूरा गुण विभाजन पर लागू नहीं होता है।

2. परिवर्तनशील गुण

परिवर्तनशील गुण जोड़ और गुणा से संबंधित है, यह दिखाते हुए कि संख्याओं के क्रमानुसार होने से परिणाम नहीं बदलता।

जोड़: a + b = b + a

उदाहरण:
5 + 3 = 3 + 5
=> 8 = 8

गुणा: a * b = b * a

उदाहरण: 
4 * (-2) = (-2) * 4
=> -8 = -8

परिवर्तनशील गुण घटाव और विभाजन पर लागू नहीं होता:

5 - 3 ≠ 3 - 5
9 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 9

3. साहचर्य गुण

पूर्णांकों का साहचर्य गुण भी जोड़ और गुणा पर लागू होता है, अर्थात, संख्याओं के गुट पिछले आधार पर पुत्र या उत्पाद को नहीं बदलते।

जोड़: (a + b) + c = a + (b + c)

उदाहरण:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
=> 5 + 4 = 2 + 7
=> 9 = 9

गुणा: (a * b) * c = a * (b * c)

उदाहरण: 
(5 * 2) * 3 = 5 * (2 * 3)
=> 10 * 3 = 5 * 6
=> 30 = 30

साहचर्य गुण घटाव और विभाजन पर लागू नहीं होता जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में देखा जा सकता है:

(6 – 4) – 2 ≠ 6 – (4 – 2)
(12 ÷ 2) ÷ 2 ≠ 12 ÷ (2 ÷ 2)

4. पहचान गुण

पूर्णांकों का पहचान गुण उन संख्याओं का वर्णन करता है जो किसी अन्य संख्या का मान संचालन में प्रयोग करने पर नहीं बदलते।

जोड़ (संवर्धन पहचान): संख्या 0 संवर्धन पहचान है क्योंकि कोई भी पूर्णांक शून्य जोड़ने पर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण: 
7 + 0 = 7
-9 + 0 = -9

गुणा (गुणात्मक पहचान): संख्या 1 गुणात्मक पहचान है क्योंकि कोई भी पूर्णांक इसे एक से गुणा करने पर अपरिवर्तित रहता है।

उदाहरण:
8 * 1 = 8
-3 * 1 = -3

5. वितरण गुण

वितरण गुण जोड़ और गुणा को जोड़ता है, और यह बताता है कि एक योग को गुणा करने के लिए प्रत्येक योग को अलग-अलग गुणा करने और फिर गुणों को जोड़ना चाहिए।

a * (b + c) = a * b + a * c

उदाहरण:
2 * (3 + 4) = 2*3 + 2*4
=> 2 * 7 = 6 + 8
=> 14 = 14

गुणों का दृश्य चित्रण

आइए परिवर्तनशील गुण को दृश्य रूप से चित्रित करें:

यहां एक वितरण गुण को जोड़ के माध्यम से दिखाते हुए एक चित्रण है:

दर्शनीय उदाहरण और अभ्यास

उदाहरण समस्याएँ

उदाहरण समस्याओं के माध्यम से अपनी समझ को आगे बढ़ाएं:

1. उदाहरण 1 - बंद गुण का उपयोग:

   यदि a = 7 और b = -3 है, तो a + b का क्या मान है? क्या परिणाम एक पूर्णांक है?

   a + b = 7 + (-3) = 4
   चूंकि 4 एक पूर्णांक है, बंद गुण सत्य है।
           

2. उदाहरण 2 – परिवर्तनशील गुण का उपयोग:

   सत्यापित करें: 5 + (-3) = -3 + 5

   5 + (-3) = 2
   -3 + 5 = 2
   दोनों अभिव्यक्तियाँ समान हैं, जो परिवर्तनशील गुण की पुष्टि करती है।
           

3. उदाहरण 3 - साहचर्य गुण का उपयोग:

   गणना करें और सत्यापित करें: (-1 + 4) + 2 = -1 + (4 + 2)

   (-1 + 4) + 2 = 3 + 2 = 5
   -1 + (4 + 2) = -1 + 6 = 5
   दोनों गणनाएं परिणाम 5 देती हैं, जो साहचर्य गुण की पुष्टि करती है।
           

4. उदाहरण 4 - पहचान गुण का उपयोग:

   दिखाएँ कि 10 + 0 और -5 * 1 का परिणाम वही संख्या है।

   10 + 0 = 10
   -5 * 1 = -5
   यह दोनों संवर्धक और गुणात्मक पहचान गुण दिखाता है।
           

5. उदाहरण 5 - वितरण गुण का उपयोग:

   सत्यापित करें: 3 * (2 + 4) = 3*2 + 3*4

   3 * (2 + 4) = 3 * 6 = 18
   3*2 + 3*4 = 6 + 12 = 18
   दोनों पक्ष समान हैं, जो वितरण गुण की पुष्टि करता है।
           

अभ्यास के लिए अभ्यास

• सत्यापित करने के लिए बंद गुण का उपयोग करें कि 8 - 5 एक पूर्णांक है।
• -4 + 10 और 10 + (-4) के साथ परिवर्तनशील गुण दिखाएं।
• साहचर्य गुण का उपयोग करके समाधान करें: (-6 + 2) + 5 और -6 + (2 + 5)।
• दिखाएं कि पहचान गुण को लागू करके शून्य जोड़ने पर कोई भी संख्या नहीं बदलती।
• वितरण गुण का उपयोग करके सरल बनाएं 4 * (5 + 3)

समापन टिप्पणी

पूर्णांकों के गुण, जैसे कि बंद, परिवर्तनशील, साहचर्य, पहचान, और वितरण, अंकगणितीय संचालन का आधार बनाते हैं। ये गुण न केवल गणनाओं को आसान बनाते हैं, बल्कि जटिल गणितीय प्रमेयों को साबित करने में भी मदद करते हैं। इन गुणों की पूरी समझ छात्रों को आत्मविश्वास से पूर्णांकों को संभालने के लिए आवश्यक उपकरण प्रदान करती है और उच्च गणित के लिए एक ठोस नींव प्रदान करती है।

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