Grado 7
  1. Sistema numérico  1.1. Enteros  1.1.1. Propiedades de los enteros  1.1.2. Operaciones con enteros  1.1.3. Inversos aditivos y multiplicativos  1.1.4. Aplicaciones de los enteros  1.2. Números racionales  1.2.1. Definición de números racionales  1.2.2. Propiedades de los números racionales  1.2.3. Operaciones con números racionales  1.2.4. Forma estándar de números racionales  1.3. Entendiendo los decimales en el sistema numérico  1.3.1. Operaciones con decimales  1.3.2. Entendiendo fracciones y decimales  1.4. Poderes y exponentes  1.4.1. Leyes de exponentes  1.4.2. Simplificando expresiones con exponentes  1.4.3. Comprendiendo la notación científica  1.5. Raíces  1.5.1. Raíz cuadrada  1.5.2. Raíz cúbica
  2. Álgebra  2.1. Expresiones en álgebra  2.1.1. Introducción a las expresiones algebraicas  2.1.2. Simplificación de expresiones  2.1.3. Evaluación de la expresión  2.2. Introducción a las ecuaciones lineales  2.2.1. Resolviendo ecuaciones simples  2.2.2. Aplicaciones de las Ecuaciones Lineales  2.3. Identidades algebraicas  2.3.1. Expansión usando identidades  2.3.2. Simplificación usando identidades
  3. Razón y proporción  3.1. Entendiendo las proporciones  3.1.1. Entendiendo las proporciones  3.1.2. Entendiendo la simplificación de razones  3.1.3. Ratio equivalente  3.2. Entendiendo la proporción en matemáticas  3.2.1. El concepto de proporción  3.2.2. Proporción directa  3.2.3. Entendiendo la proporción inversa  3.3. Comprendiendo el método unitario  3.3.1. Resolver problemas usando el método unitario
  4. Geometría  4.1. Líneas y ángulos  4.1.1. Tipos de ángulos  4.1.2. Pares de ángulos  4.1.3. Propiedades de las líneas paralelas y una transversal  4.1.4. Introducción a las bisectrices de ángulos  4.2. Entendiendo los triángulos en geometría  4.2.1. Tipos de triángulos  4.2.2. Propiedad de la suma de ángulos  4.2.3. Introducción a las propiedades del ángulo exterior  4.2.4. Teorema de Pitágoras  4.3. Entendiendo la congruencia de triángulos  4.3.1. Criterios de conformidad  4.3.2. Aplicaciones de la congruencia  4.4. Cuadrilátero  4.4.1. Tipos de cuadriláteros  4.4.2. Propiedades del paralelogramo  4.4.3. Cuadriláteros especiales  4.4.4. Propiedades de los rectángulos y rombos
  5. Mensuración  5.1. Comprendiendo el perímetro y el área  5.1.1. Perímetro de figuras planas  5.1.2. Área de Figuras Planas  5.1.3. Comprender el área de un trapezoide  5.1.4. Área del paralelogramo  5.1.5. Área de un círculo  5.1.6. Comprensión del área de formas compuestas  5.2. Área de superficie y volumen en medición  5.2.1. Cubo y cuboide  5.2.2. Comprender el área de superficie de los cilindros  5.2.3. Volumen de un prisma y un cilindro  5.2.4. Volumen y área superficial de un cono
  6. Manejo de datos  6.1. Recolección de datos  6.1.1. Organizar los datos  6.1.2. Distribución de frecuencia  6.2. Representación gráfica de datos  6.2.1. Introducción a los Gráficos de Barras  6.2.2. Comprender los gráficos de barras dobles  6.2.3. Entendiendo los gráficos de pastel  6.2.4. Histograma  6.2.5. Introducción a los gráficos de líneas  6.3. Entendiendo la probabilidad en la gestión de datos  6.3.1. Comprender eventos simples en probabilidad  6.3.2. Probabilidad experimental  6.3.3. Probabilidad teórica
  7. Geometría práctica  7.1. Construcción de triángulos  7.1.1. Construcción de triángulos con longitudes de lados dadas  7.1.2. Construcción de un triángulo con lado y ángulo dados  7.1.3. Construcción de triángulos rectángulos  7.2. Construcción de un cuadrilátero  7.2.1. Dado el largo de los lados y los ángulos de un cuadrilátero  7.2.2. Construcción de paralelogramos y rectángulos

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Propiedades de los enteros


Los enteros son una parte fundamental de las matemáticas, útiles para contar, ordenar y realizar cálculos básicos. Los enteros pueden ser positivos, negativos o cero. Comprender las propiedades de los enteros puede ayudar a resolver una variedad de problemas matemáticos. En esta lección, discutiremos en profundidad las propiedades esenciales de los enteros, ilustrando cada una con ejemplos y ayudas visuales.

Comprensión de los enteros

Antes de profundizar en las propiedades, comprendamos brevemente qué son los enteros. Los enteros son un conjunto de números que incluye el cero (0), números positivos (1, 2, 3,...) y números negativos (-1, -2, -3,...). No tienen partes fraccionarias o decimales.

Propiedades de los enteros

1. Propiedad de cierre

La propiedad de cierre establece que cuando realizas cualquier operación (como suma, resta o multiplicación) sobre dos enteros, el resultado siempre será un entero.

Suma: La suma de dos enteros siempre será un entero.

Por ejemplo, si sumas 
3 + 5 = 8
-4 + (-6) = -10

Resta: La diferencia entre dos enteros también es un entero.

Ejemplos incluyen:
5 - 3 = 2
-8 - (-3) = -5

Multiplicación: El producto de dos enteros es un entero.

Por ejemplo:
4 * (-3) = -12
(-6) * (-2) = 12
0 +ellos Enteros

Nota: La división de enteros a veces no da un entero (por ejemplo, 1 / 2 = 0.5, que no es un entero). Por lo tanto, la propiedad de cierre no se aplica a la división.

2. Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa se relaciona con la suma y la multiplicación, mostrando que el orden de los números no cambia el resultado.

Suma: a + b = b + a

Ejemplo:
5 + 3 = 3 + 5
=> 8 = 8

Multiplicación: a * b = b * a

Ejemplo: 
4 * (-2) = (-2) * 4
=> -8 = -8

La propiedad conmutativa no se aplica a la resta y la división:

5 - 3 ≠ 3 - 5
9 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 9

3. Propiedad asociativa

La propiedad asociativa de los enteros también se aplica a la suma y la multiplicación, es decir, la forma en que se agrupan los números no cambia su suma o producto.

Suma: (a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
=> 5 + 4 = 2 + 7
=> 9 = 9

Multiplicación: (a * b) * c = a * (b * c)

Ejemplo: 
(5 * 2) * 3 = 5 * (2 * 3)
=> 10 * 3 = 5 * 6
=> 30 = 30

La propiedad asociativa no se aplica a la resta y la división, como se puede ver en los ejemplos a continuación:

(6 – 4) – 2 ≠ 6 – (4 – 2)
(12 ÷ 2) ÷ 2 ≠ 12 ÷ (2 ÷ 2)

4. Propiedad de identidad

La propiedad de identidad de los enteros describe números que no cambian el valor de otro número cuando se utilizan en una operación.

Suma (Identidad Aditiva): El número 0 es la identidad aditiva porque cualquier entero permanece sin cambios cuando se suma cero a él.

Ejemplo: 
7 + 0 = 7
-9 + 0 = -9

Multiplicación (Identidad Multiplicativa): El número 1 es la identidad multiplicativa porque cualquier entero permanece sin cambios cuando se multiplica por uno.

Ejemplo:
8 * 1 = 8
-3 * 1 = -3

5. Propiedad distributiva

La propiedad distributiva conecta la suma y la multiplicación, y nos dice cómo multiplicar una suma multiplicando cada suma por separado y luego sumando los productos.

a * (b + c) = a * b + a * c

Ejemplo:
2 * (3 + 4) = 2*3 + 2*4
=> 2 * 7 = 6 + 8
=> 14 = 14

Representación visual de propiedades

Ilustremos la propiedad conmutativa a través de una imagen visual:

3 5 El orden no importa: 3 + 5 = 5 + 3

Aquí hay una ilustración que muestra la multiplicación distribuida sobre la suma:

B+C A*(B+C) a*b + a*c

Ejemplos ilustrativos y ejercicios

Problemas de ejemplo

Aumentemos nuestra comprensión a través de problemas de ejemplo:

  1. Ejemplo 1 - Uso de la Propiedad de Cierre:

    Si a = 7 y b = -3, ¿cuál es a + b? ¿Es el resultado un entero?

    a + b = 7 + (-3) = 4
Dado que 4 es un entero, la propiedad de cierre es verdadera.
  2. Ejemplo 2 – Uso de la Propiedad Conmutativa:

    Verificar: 5 + (-3) = -3 + 5

    5 + (-3) = 2
-3 + 5 = 2
Ambas expresiones son equivalentes, lo que confirma la propiedad conmutativa.
  3. Ejemplo 3 - Uso de la Propiedad Asociativa:

    Calcular y verificar: (-1 + 4) + 2 = -1 + (4 + 2)

    (-1 + 4) + 2 = 3 + 2 = 5
-1 + (4 + 2) = -1 + 6 = 5
Ambos cálculos dan el resultado 5, lo que confirma la propiedad asociativa.
  4. Ejemplo 4 - Uso de la Propiedad de Identidad:

    Muestre que el resultado de 10 + 0 y -5 * 1 es el mismo número.

    10 + 0 = 10
-5 * 1 = -5
Esto muestra ambas propiedades de identidad aditiva y multiplicativa.
  5. Ejemplo 5 - Uso de la Propiedad Distributiva:

    Verificar: 3 * (2 + 4) = 3*2 + 3*4

    3 * (2 + 4) = 3 * 6 = 18
3*2 + 3*4 = 6 + 12 = 18
Ambos lados son iguales, lo que confirma la propiedad distributiva.

Ejercicios para practicar

  • Utilice la Propiedad de Cierre para verificar que 8 - 5 es un entero.
  • Demostrar la propiedad conmutativa con -4 + 10 y 10 + (-4).
  • Use la propiedad asociativa para resolver: (-6 + 2) + 5 y -6 + (2 + 5).
  • Aplicar la propiedad de identidad para demostrar que sumar 0 a cualquier número no lo cambia.
  • Usar la Propiedad Distributiva para Simplificar 4 * (5 + 3)

Comentarios finales

Las propiedades de los enteros, como el cierre, conmutativo, asociativo, identidad y distributivo, forman la base de las operaciones aritméticas. Estas propiedades no solo facilitan los cálculos, sino que también ayudan a demostrar teoremas matemáticos complejos. Una comprensión profunda de estas propiedades proporciona a los estudiantes las herramientas necesarias para manejar los números con confianza y brinda una base sólida para matemáticas más avanzadas.


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