Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 → Lógica aritmética → Comprender las pruebas en lógica matemática ↓


Prueba por inducción matemática


La inducción matemática es una técnica poderosa utilizada en matemáticas para demostrar que una afirmación es verdadera para todos los números naturales. Este concepto puede parecer complicado al principio, pero se puede entender con algunos pasos y ejemplos simples.

Entendiendo la inducción

Comencemos por entender qué es la inducción matemática. Imagina que tienes una larga fila de fichas de dominó de pie. Si empujas la primera ficha, y cada ficha empuja a la siguiente, todas las fichas eventualmente caerán. Así es como funciona la inducción matemática. Consiste en dos pasos principales:

  1. Caso base: Demuestra que la afirmación es verdadera para el valor inicial (generalmente cuando n = 1).
  2. Paso inductivo: Demuestra que si la afirmación es verdadera para algún valor arbitrario n = k, entonces también debe ser verdadera para n = k + 1.

Si ambos pasos se completan exitosamente, entonces se puede concluir que esta afirmación es verdadera para todos los números naturales.

Etapas de la inducción

Paso 1: Caso base

El caso base es el punto de partida de la inducción. A menudo, verificarás que la afirmación es verdadera para n = 1. Probar este caso base es como asegurarte de que la primera ficha de dominó esté lista para caer correctamente.

Fase 2: Fase inductiva

La fase inductiva comprende dos sub-fases:

  1. Asume que la afirmación es verdadera para n = k. Esta suposición se conoce como la "hipótesis inductiva".
  2. Demuestra que la afirmación es verdadera para n = k + 1.

Ejemplos para ilustrar la inducción

Consideremos un ejemplo simple.

Demuestra que la suma de los primeros n números naturales está dada por la fórmula:

S(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

Caso base

Primero, comprobamos si la afirmación es verdadera para n = 1:

S(1) = 1 = 1(1 + 1)/2 = 1

Por lo tanto, el caso original es verdadero.

Fase inductiva

Ahora, asumamos que la afirmación es verdadera para n = k, es decir:

S(k) = 1 + 2 + ... + k = k(k + 1)/2

Necesitamos demostrar que esto también funciona para n = k + 1.

Si la fórmula es verdadera para n = k, entonces tenemos:

S(k+1) = 1 + 2 + ... + k + (k + 1)

De acuerdo con la observación:

S(k) = k(k + 1)/2

Agrega k + 1 a ambos lados:

S(k+1) = k(k + 1)/2 + (k + 1)

Combina y simplifica las expresiones:

S(k+1) = (k(k + 1) + 2(k + 1))/2 = (k^2 + k + 2k + 2)/2 = (k^2 + 3k + 2)/2 = ((k + 1)(k + 2))/2

Esto corresponde a la forma (k+1)((k+1)+1)/2, lo que prueba el paso inductivo.

Conclusión

Dado que tanto el caso base como el paso inductivo han sido probados por inducción matemática, la fórmula:

S(n) = n(n+1)/2

es verdadera para todos los números naturales n.

Ejemplo visual

n = 1 n = 2 N = 3 N = 4

Esto muestra los términos siendo colocados juntos como rectángulos colocados juntos, lo que simula visualmente una suma creciente.

Más ejemplos textuales

Ejemplo 2: Demostración de potencia de 2

Demostremos que para cualquier número natural n, la suma de potencias de 2 es:

1 + 2 + 4 + ... + 2^{n-1} = 2^n - 1

Caso base

Para n = 1:

1 = 2^1 - 1 = 1

Fase inductiva

Asume que para n = k es verdadero:

1 + 2 + 4 + ... + 2^{k-1} = 2^k - 1

Demuestra que para n = k + 1:

1 + 2 + 4 + ... + 2^{k-1} + 2^k = (2^k - 1) + 2^k = 2^{(k+1)} - 1

Por lo tanto, la fórmula es verdadera para todos los números naturales n.

¿Por qué funciona la inducción?

La inducción es efectiva porque se basa en verdades establecidas. Una vez que demuestras la afirmación para el primer caso, y demuestras que si funciona en cualquier 'n', funciona en 'n+1', lógicamente se sigue que funciona para cada valor subsiguiente.

Errores comunes y cómo evitarlos

Existen varias trampas al usar la inducción matemática. Asegúrate siempre de:

  • Tener un caso base correcto y válido.
  • La hipótesis inductiva esté correctamente formulada.
  • Haber configurado correctamente el paso inductivo de k a k + 1.

Estos elementos son cruciales para una prueba rigurosa.

Problemas de práctica

  1. Demuestra que la suma de los primeros n números impares es n^2.
  2. Verifica por inducción que 2^n > n^2 para todo n ≥ 5.
  3. Demuestra que 3^n > 2n+3 donde n > 1.

Conclusión

La inducción matemática no es solo una técnica, sino una forma de pensar que extiende lógicamente la verdad de un dominio a un dominio más amplio. Con la práctica, se convierte en una herramienta poderosa en tu caja de herramientas matemáticas, ayudándote a demostrar afirmaciones que son verdaderas para un conjunto infinito de números. A medida que ganes confianza con la inducción, encontrarás mucho más fácil abordar una variedad de problemas, especialmente aquellos que involucran secuencias, sumas e inequaciones.

¡Feliz aprendizaje!


Grado 11 → 8.2.4


U
username
0%
completado en Grado 11

← Anterior (8.2.3)
Entendiendo la prueba por contradicción

Comentarios 



Prueba por inducción matemática

https://www.buddymath.com/g11/8.2.4?bmal=es