11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Introdução à lógica na lógica matemática


Lógica é o estudo do raciocínio correto. Em matemática, desempenha um papel vital porque é usada para desenvolver argumentos precisos. O raciocínio lógico permite que os matemáticos façam conjecturas e validem teoremas de forma rigorosa. Aprender sobre lógica em matemática ajuda os alunos não apenas a entender a matemática, mas também a desenvolver fortes habilidades de raciocínio que podem ser aplicadas no dia a dia.

Conceitos-chave de lógica

Declaração

Uma declaração lógica é uma frase declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Por exemplo:

  • "O céu é azul." (Isso pode ser verificado e possui um valor de verdade.)
  • "2 + 2 é igual a 4." (Esta é uma verdade matemática.)

Esses são exemplos de declarações. Perguntas, comandos ou expressões de emoção não são declarações porque não têm valores de verdade, tais como:

  • "Como você está?" (Isso não pode ser verdadeiro ou falso.)
  • "Feche a porta." (Isso é um comando.)

Coordenador logístico

Declarações mais complexas podem ser formadas combinando declarações usando conectivos lógicos. Os principais conectivos lógicos são:

  • AND (∧): Conecta duas declarações e é verdadeiro somente se ambas as declarações forem verdadeiras.
    A B A ∧ B
  • OR (∨): Conecta duas declarações e é verdadeiro se pelo menos uma das declarações for verdadeira.
    A B A ∨ B
  • NOT (¬): Inverte o valor de verdade de uma declaração. Se a declaração é verdadeira, então sua negação é falsa, e vice-versa.
    ¬A
  • Se...então (→): É uma declaração condicional que é falsa somente se a primeira declaração for verdadeira e a segunda for falsa.
    A → B
  • Se e somente se (↔): É uma bicondicional e declara que ambas as declarações são equivalentes; verdadeiro se ambos tiverem o mesmo valor de verdade.
    A ↔ B

Tabelas de verdade

As tabelas de verdade são ferramentas usadas na lógica para determinar o valor de verdade de declarações compostas. Aqui está um exemplo simples:

Tabela de verdade para and (∧)

| A | B | A ∧ B | |---|---|-------| | T | T | T | | T | F | F | | F | T | F | | F | F | F |

Na tabela de verdade acima, T significa verdadeiro e F significa falso. A terceira coluna mostra o resultado de A ∧ B

Tabela de verdade para or (∨)

| A | B | A ∨ B | |---|---|-------| | T | T | T | | T | F | T | | F | T | T | | F | F | F |

Aqui, a terceira coluna representa o resultado de A ∨ B

Equivalência lógica

Declarações que têm o mesmo valor de verdade em todos os possíveis cenários são chamadas de logicamente equivalentes. Por exemplo, as declarações ¬(A ∨ B) e ¬A ∧ ¬B são logicamente equivalentes. Isto é chamado de lei de De Morgan. Você pode verificar isso usando tabelas de verdade.

Implicação e conversa, inverso, contrapositiva

Vamos dar uma olhada mais de perto nas implicações e suas formas respectivas:

  • Conversa: Dada uma declaração A → B, sua conversão é B → A
  • Inverso: Converte ambas as partes para suas negações; para A → B, o inverso é ¬A → ¬B.
  • Contrapositiva: Inverta ambas as partes e as negue; para A → B, a contrativa é ¬B → ¬A.

A implicação original e sua contraposte são sempre logicamente equivalentes.

Exemplo de contrapositiva

Declaração: "Se chover, então o chão estará molhado." Aqui, A significa "está chovendo" e B significa "o chão está molhado".

  • Contrapositiva: "Se o chão não estiver molhado, não vai chover."

Raciocínio lógico e provas

Os matemáticos usam o raciocínio lógico para criar argumentos e provas. Um argumento consiste em premissas (declarações assumidas como verdadeiras) e uma conclusão. Um argumento válido é aquele em que, se a premissa é verdadeira, a conclusão também deve ser verdadeira.

Considere este argumento:

  • Se um número for par, então será divisível por 2.
  • 24 é um número par.
  • Conclusão: 24 é divisível por 2.

A lógica aqui é simples e o argumento é válido.

Prova direta

Em uma prova direta, assumimos que as premissas são verdadeiras e usamos passos lógicos para chegar à conclusão. Por exemplo:

  • Prove que, se um número é par, então seu quadrado também será par.
  • Prova: Seja n um número par. Por definição, n = 2k para algum inteiro k. Então n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2), o que também é par.

Prova indireta

Provas indiretas, como a prova por contradição, assumem que a negação daquilo que queremos provar é verdadeira e, em seguida, mostram que essa suposição leva a uma contradição.

  • Prove que √2 é irracional.
  • Prova: Suponha que √2 seja racional, o que significa que pode ser expresso na forma mais simples como a razão de dois inteiros p/q. Então (√2)^2 = (p/q)^2, o que implica 2 = p^2/q^2 e p^2 = 2q^2. Portanto, p^2 é par, e portanto p deve ser par. Suponha que p = 2k para algum inteiro k. Isso se transforma em (2k)^2 = 2q^2, o que implica 4k^2 = 2q^2, e assim por diante para q^2 = 2k^2. Agora q^2 é par, e portanto q é par, o que contraria a suposição de que p/q está na forma mais simples. Assim, √2 deve ser irracional.

Conclusão

A lógica é fundamental para o raciocínio matemático. Ela equipa os alunos com as habilidades para fazer argumentos claros e rigorosos. Ao entender a lógica, eles podem analisar problemas complexos e raciocinar em direção a soluções. À medida que os alunos progridem em sua educação matemática, esses princípios lógicos formam a espinha dorsal de áreas de estudo mais avançadas, abrindo caminho para habilidades que são centrais não só para a matemática, mas também para uma vasta gama de aplicações de pensamento crítico na vida real.


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