Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Introducción a la lógica en la lógica matemática


La lógica es el estudio del razonamiento correcto. En matemáticas, juega un papel vital porque se utiliza para desarrollar argumentos precisos. El razonamiento lógico permite a los matemáticos formular conjeturas y validar rigurosamente teoremas. Aprender sobre lógica en matemáticas ayuda a los estudiantes no solo a entender las matemáticas sino también a desarrollar habilidades de razonamiento sólido que pueden aplicarse en la vida cotidiana.

Conceptos clave de la lógica

Enunciado

Un enunciado lógico es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas. Por ejemplo:

  • "El cielo es azul." (Esto puede verificarse y tiene un valor de verdad.)
  • "2 + 2 es igual a 4." (Esto es una verdad matemática.)

Estos son ejemplos de enunciados. Preguntas, órdenes o expresiones de emoción no son enunciados porque no tienen valores de verdad, como:

  • "¿Cómo estás?" (Esto no puede ser verdadero o falso.)
  • "Cierra la puerta." (Eso es una orden.)

Coordinador lógico

Enunciados más complejos pueden formarse combinando enunciados utilizando conectores lógicos. Los principales conectores lógicos son:

  • Y (∧): Une dos enunciados y es verdadero solo si ambos enunciados son verdaderos.
    A B A ∧ B
  • O (∨): Une dos enunciados y es verdadero si al menos uno de los enunciados es verdadero.
    A B A ∨ B
  • NO (¬): Invierte el valor de verdad de un enunciado. Si el enunciado es verdadero, entonces su negación es falsa, y viceversa.
    ¬A
  • Si...entonces (→): Es un enunciado condicional que es falso solo si el primer enunciado es verdadero y el segundo es falso.
    A → B
  • Si y solo si (↔): Es un bicondicional y establece que ambos enunciados son equivalentes; verdadero si ambos tienen el mismo valor de verdad.
    A ↔ B

Tablas de verdad

Las tablas de verdad son herramientas utilizadas en lógica para determinar el valor de verdad de enunciados compuestos. Aquí hay un ejemplo simple:

Tabla de verdad para y (∧)

| A | B | A ∧ B | |---|---|-------| | T | T | T | | T | F | F | | F | T | F | | F | F | F |

En la tabla de verdad dada arriba, T significa verdadero y F significa falso. La tercera columna muestra el resultado de A ∧ B

Tabla de verdad para o (∨)

| A | B | A ∨ B | |---|---|-------| | T | T | T | | T | F | T | | F | T | T | | F | F | F |

Aquí, la tercera columna representa el resultado de A ∨ B

Equivalencia lógica

Los enunciados que tienen el mismo valor de verdad en todos los posibles escenarios se denominan lógicamente equivalentes. Por ejemplo, los enunciados ¬(A ∨ B) y ¬A ∧ ¬B son lógicamente equivalentes. Esto se llama la ley de De Morgan. Puedes verificar esto usando tablas de verdad.

Implicación y reciproca, inversa, contrarrecíproca

Analicemos de cerca las implicaciones y sus formas respectivas:

  • Reciproca: Dado un enunciado A → B, su reciproca es B → A
  • Inversa: Convierte ambas partes a su negación; para A → B, la inversa es ¬A → ¬B.
  • Contrarrecíproca: Cambia ambas partes y las niega; para A → B, la contrarrecíproca es ¬B → ¬A.

La implicación original y su contrarrecíproca son siempre lógicamente equivalentes.

Ejemplo de contrarrecíproca

Enunciado: “Si llueve, entonces el suelo está mojado.” Aquí, A significa “llueve” y B significa “el suelo está mojado.”

  • Contrarrecíproca: "Si el suelo no está mojado, no lloverá."

Razonamiento lógico y pruebas

Los matemáticos utilizan el razonamiento lógico para crear argumentos y pruebas. Un argumento consta de premisas (enunciados que se asumen verdaderos) y una conclusión. Un argumento válido es aquel en el que si la premisa es verdadera, la conclusión también debe ser verdadera.

Considera este argumento:

  • Si un número es par, entonces será divisible por 2.
  • 24 es un número par.
  • Conclusión: 24 es divisible por 2.

La lógica aquí es simple y el argumento es válido.

Prueba directa

En una prueba directa, asumimos que las premisas son verdaderas y utilizamos pasos lógicos para llegar a la conclusión. Por ejemplo:

  • Demuestra que si un número es par, entonces su cuadrado también será par.
  • Prueba: Sea n un número par. Por definición, n = 2k para algún entero k. Entonces n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2), lo que también es par.

Prueba indirecta

Las pruebas indirectas, como la prueba por contradicción, asumen que la negación de lo que queremos demostrar es verdadera y luego demuestran que esta suposición lleva a una contradicción.

  • Demuestra que √2 es irracional.
  • Prueba: Supongamos que √2 es racional, lo que significa que puede expresarse en su forma más simple como la razón de dos enteros p/q. Entonces (√2)^2 = (p/q)^2, lo que implica 2 = p^2/q^2 y p^2 = 2q^2. Por lo tanto, p^2 es par, y por lo tanto p debe ser par. Supongamos que p = 2k para algún entero k. Esto se convierte en (2k)^2 = 2q^2, lo que implica 4k^2 = 2q^2, y así sucesivamente a q^2 = 2k^2. Ahora q^2 es par, y por lo tanto q es par, lo que contradice la suposición de que p/q está en su forma más simple. Por lo tanto, √2 debe ser irracional.

Conclusión

La lógica es fundamental para el razonamiento matemático. Equipara a los estudiantes con las habilidades para hacer argumentos claros y rigurosos. Al comprender la lógica, pueden analizar problemas complejos y razonar hacia soluciones. A medida que los estudiantes avanzan en su educación matemática, estos principios lógicos forman la columna vertebral de áreas de estudio más avanzadas, allanando el camino para habilidades que son centrales no solo para las matemáticas, sino también para una amplia gama de aplicaciones de pensamiento crítico en la vida real.


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