11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Técnicas de prova


Na matemática, especialmente ao estudar lógica, raciocínio e provas, precisamos de métodos para provar que certas afirmações matemáticas são verdadeiras. Esses métodos ou técnicas formam a espinha dorsal do raciocínio matemático. Eles nos ajudam a verificar a validade de nossas suposições e a chegar a conclusões lógicas com base nessas suposições.

O que é a prova?

Uma prova é uma série lógica de afirmações ou passos, cada um dos quais é razoavelmente verdadeiro, que leva à conclusão de que uma determinada afirmação matemática é verdadeira. Serve como uma demonstração concreta de que a conclusão segue das premissas com base nas regras da dedução lógica.

Técnicas de prova em matemática

Várias técnicas de prova padrão são amplamente utilizadas na matemática. Cada técnica tem um propósito específico e é mais adequada para determinados tipos de problemas ou afirmações. Abaixo exploraremos algumas das técnicas de prova fundamentais usadas na matemática do 11º ano, incluindo exemplos visuais e textuais para melhorar a compreensão.

1. Prova direta

Prova direta é uma maneira direta de provar uma afirmação, na qual começamos com fatos ou suposições conhecidas e usamos passos lógicos para chegar à afirmação que queremos provar. É tipicamente usada quando precisamos demonstrar a veracidade de uma implicação P → Q

Exemplo

Vamos provar a afirmação: "Se um número é par, então seu quadrado também será par."

Seja n um número par. Pela definição de números pares, existe um inteiro k tal que n = 2k. Portanto, n² = (2k)² = 4k². Como 4k² = 2(2k²), n² é divisível por 2, o que significa que n² é par. Assim, se n é par, então n² também é par.

2. Prova indireta (prova por contradição)

Na prova indireta ou prova por contradição, assumimos que a afirmação que queremos provar é falsa. Então mostramos que essa suposição leva a uma contradição com fatos conhecidos, o que significa que nossa afirmação original deve ser verdadeira.

Exemplo

Provar que √2 é irracional.

Assuma o contrário, que √2 é racional. Então, pela definição de números racionais, √2 = a/b onde a e b são inteiros, com b ≠ 0 e a/b na forma mais simplificada. Assim, 2 = a²/b², ou a² = 2b². Isso implica que a² é par, então a é par (pois quadrados de números ímpares são ímpares). Seja a = 2k, então a² = (2k)² = 4k² = 2b². Simplificando, temos b² = 2k², mostrando que b² é par, então b é par. Tanto a quanto b sendo pares contradiz a/b estar na forma mais simplificada. Assim, nossa suposição está errada e √2 é irracional.

3. Prova por contrarrecíproco

Se temos uma implicação P → Q, então a prova por contrarrecíproco consiste em provar ¬Q → ¬P. Se ¬Q → ¬P é válida, então P → Q também deve ser válida.

Exemplo

Provar: "Se o quadrado de um número n é ímpar, então n é também ímpar."

Consideramos o contrarrecíproco: "Se n é par, então n² é par." Assumimos que n é par, significando que n = 2k para algum inteiro k. Então n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²). Como n² é múltiplo de 2, ele deve ser par. Isso prova o contrarrecíproco, então a afirmação original é verdadeira.

4. Prova por indução matemática

A indução é uma técnica de prova poderosa que é comumente usada para provar afirmações sobre inteiros. Envolve dois passos principais: o caso base e o passo indutivo.

  • Caso base: Verificar se a afirmação é verdadeira para o valor inicial.
  • Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para qualquer inteiro arbitrário k, e provar que é verdadeira para k + 1.

Exemplo

Provar que a soma dos primeiros n inteiros positivos é S(n) = n(n + 1)/2.

Caso base: Para n = 1, S(1) = 1(1+1)/2 = 1. A afirmação é válida. Passo indutivo: Assuma S(k) = k(k + 1)/2 é verdadeiro para algum k. Precisamos provar que S(k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)/2. Considere S(k + 1) = S(k) + (k + 1). Pela hipótese de indução: S(k) = k(k + 1)/2 Então, S(k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k(k + 1) + 2(k + 1))/2 = (k + 1)(k + 2)/2 A afirmação é válida para k + 1, então por indução, é verdade para todo n.

5. Prova por exaustão (análise de casos)

Este método consiste em dividir a afirmação em um número finito de casos e provar cada um separadamente. É útil quando a afirmação ou suas variáveis permitem tal divisão.

Exemplo

Provar que, quando um dado justo é lançado, ele sempre mostra uma face menor que 7.

As faces de um dado padrão exibem os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Podemos considerar cada caso:

  • Caso 1: O dado mostra 1 (1 < 7).
  • Caso 2: O dado mostra 2 (2 < 7).
  • Caso 3: O dado mostra 3 (3 < 7).
  • Caso 4: O dado mostra 4 (4 < 7).
  • Caso 5: O dado mostra 5 (5 < 7).
  • Caso 6: O dado mostra 6 (6 < 7).

Como cada resultado possível é menor que 7, a afirmação é verdadeira.

6. Prova iterativa

Embora nem sempre haja uma classificação padrão, a prova iterativa envolve o uso do raciocínio iterativo para estabelecer que um processo repetitivo resulta em um resultado específico. É frequentemente usada em algoritmos ou funções recursivas.

Exemplo

Considere a sequência de Fibonacci, onde cada número é a soma dos dois precedentes: F(0) = 0, F(1) = 1 e F(n) = F(n-1) + F(n-2) onde n ≥ 2.

Provar: O número de maneiras de subir uma escada com n degraus, 1 ou 2 degraus de cada vez, é o enésimo número de Fibonacci.

Casos base: F(0) = 0 implica que não há degraus para subir = 1 maneira (ficar no lugar). F(1) = 1 implica um degrau para subir = 1 maneira. Para n ≥ 2, assuma que o número de maneiras corresponde à sequência de Fibonacci: F(n) = F(n-1) + F(n-2). Isso corresponde a dar um passo para atingir (n-1) seguido por outro passo, ou dois passos para atingir (n-2). Por indução e iteração através das condições definidas, cada uma segue a relação de Fibonacci.

Representação visual

Vamos ver uma simples ilustração visual da indução matemática usando o efeito dominó:

Caso Base Fase Indutiva

Pense em cada dominó como representando um caso de indução matemática. Derrubar o primeiro dominó (o caso base) garante que todos os dominós subsequentes (os casos) caiam, isso é semelhante a demonstrar a veracidade de uma afirmação para todos os números naturais por indução.

Conclusão

As técnicas de prova são essenciais para a compreensão e alcance da maturidade matemática. Elas fornecem uma estrutura rigorosa para estabelecer hipóteses e deduzir conclusões logicamente a partir de premissas dadas. Prova direta, prova indireta, prova por contrarrecíproco, prova por indução matemática e prova por exaustão são os principais métodos abordados no currículo de matemática do 11º ano, e eles lançam as bases para um raciocínio matemático mais avançado.

Diferentes tipos de problemas exigem diferentes estratégias de prova, e dominar essas técnicas é vital para progredir na matemática. À medida que você pratica e se familiariza com esses métodos, sua habilidade de pensar logicamente e resolver problemas complexos aumentará consideravelmente.


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