Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Técnicas de demostración


En matemáticas, especialmente al estudiar lógica, razonamiento y demostraciones, necesitamos métodos para demostrar que ciertas afirmaciones matemáticas son verdaderas. Estos métodos o técnicas forman la columna vertebral del razonamiento matemático. Nos ayudan a verificar la validez de nuestras suposiciones y a llegar a conclusiones lógicas basadas en estas suposiciones.

¿Qué es la evidencia?

Una demostración es una serie lógica de declaraciones o pasos, cada uno de los cuales es razonablemente verdadero, que conduce a la conclusión de que una declaración matemática particular es verdadera. Sirve como una demostración concreta de que la conclusión se deriva de las premisas basadas en las reglas de deducción lógica.

Técnicas de demostración en matemáticas

Varias técnicas estándar de demostración se utilizan ampliamente en matemáticas. Cada técnica tiene un propósito específico y es más adecuada para tipos particulares de problemas o declaraciones. A continuación exploraremos algunas de las técnicas de demostración fundamentales utilizadas en el grado 11 de matemáticas, incluyendo ejemplos visuales y textuales para mejorar la comprensión.

1. Evidencia directa

La demostración directa es una forma directa de probar una declaración, en la que comenzamos con hechos o suposiciones conocidas y usamos pasos lógicos para llegar a la declaración que queremos probar. Se utiliza típicamente cuando necesitamos demostrar la veracidad de una implicación P → Q

Ejemplo

Demostremos la declaración: "Si un número es par, entonces su cuadrado también será par."

Sea n un número par. Por definición de números pares, existe un entero k tal que n = 2k. Por lo tanto, n² = (2k)² = 4k². Dado que 4k² = 2(2k²), n² es divisible por 2, lo que significa que n² es par. Por lo tanto, si n es par, entonces n² también es par.

2. Demostración indirecta (prueba por contradicción)

En la demostración indirecta o prueba por contradicción, asumimos que la declaración que queremos probar es falsa. Luego mostramos que esta suposición lleva a una contradicción con hechos conocidos, lo que significa que nuestra declaración original debe ser verdadera.

Ejemplo

Demostrar que √2 es irracional.

Asumamos lo contrario, que √2 es racional. Entonces, por definición de números racionales, √2 = a/b donde a y b son enteros, con b ≠ 0 y a/b en su forma más simple. Así, 2 = a²/b², o a² = 2b². Esto implica que a² es par, por lo tanto a es par (ya que el cuadrado de un número impar es impar). Sea a = 2k, así a² = (2k)² = 4k² = 2b². Simplificando se obtiene b² = 2k², mostrando que b² es par, por lo tanto b es par. Tanto a como b siendo pares contradicen que a/b esté en su forma más simple. Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta, y √2 es irracional.

3. Demostración por contraposición

Si tenemos una implicación P → Q, entonces la demostración por contraposición consiste en demostrar ¬Q → ¬P. Si ¬Q → ¬P es válida, entonces P → Q también debe ser válida.

Ejemplo

Demostrar: "Si el cuadrado de un número n es impar, entonces n también es impar."

Consideramos la contraposición: "Si n es par, entonces n² es par." Supongamos que n es par, lo que significa n = 2k para algún entero k. Entonces n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²). Dado que n² es múltiplo de 2, debe ser par. Esto demuestra la contraposición, por lo que la declaración original es verdadera.

4. Demostración por inducción matemática

La inducción es una poderosa técnica de demostración que se utiliza comúnmente para probar declaraciones sobre enteros. Involucra dos pasos principales: el caso base y el paso inductivo.

  • Caso base: Verificar que la declaración es verdadera para el valor inicial.
  • Paso inductivo: Asumir que la declaración es verdadera para cualquier entero arbitrario k, y probarla para k + 1.

Ejemplo

Demostrar que la suma de los primeros n enteros positivos es S(n) = n(n + 1)/2.

Caso base: Para n = 1, S(1) = 1(1+1)/2 = 1. La declaración se cumple. Paso inductivo: Asumir que S(k) = k(k + 1)/2 es verdadera para algún k. Necesitamos probar que S(k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)/2. Considerar S(k + 1) = S(k) + (k + 1). Por la hipótesis de inducción: S(k) = k(k + 1)/2 Entonces, S(k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k(k + 1) + 2(k + 1))/2 = (k + 1)(k + 2)/2 La declaración se cumple para k + 1, así que por inducción, es verdadera para todos los n.

5. Demostración por agotamiento (análisis de casos)

Este método consiste en dividir la declaración en un número finito de casos y demostrar cada uno por separado. Es útil cuando la declaración o sus variables permiten dicha división.

Ejemplo

Demostrar que cuando se lanza un dado justo, siempre muestra una cara menor que 7.

Las caras de un dado estándar muestran los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Podemos considerar cada caso:

  • Caso 1: El dado muestra 1 (1 < 7).
  • Caso 2: El dado muestra 2 (2 < 7).
  • Caso 3: El dado muestra 3 (3 < 7).
  • Caso 4: El dado muestra 4 (4 < 7).
  • Caso 5: El dado muestra 5 (5 < 7).
  • Caso 6: El dado muestra 6 (6 < 7).

Como cada resultado posible es menor que 7, la declaración es verdadera.

6. Demostración iterativa

Aunque no siempre hay una clasificación estándar, la demostración iterativa implica usar razonamiento iterativo para establecer que un proceso repetitivo da un resultado particular. A menudo se utiliza en algoritmos o funciones recursivas.

Ejemplo

Consideramos la secuencia de Fibonacci, donde cada número es la suma de los dos anteriores: F(0) = 0, F(1) = 1, y F(n) = F(n-1) + F(n-2) donde n ≥ 2.

Demostrar: El número de formas de subir una escalera con n escalones, 1 o 2 escalones a la vez, es el enésimo número de Fibonacci.

Casos base: F(0) = 0 implica cero escalones para subir = 1 forma (quedarse). F(1) = 1 implica un escalón para subir = 1 forma. Para n ≥ 2, asumir que el número de formas corresponde a la secuencia de Fibonacci: F(n) = F(n-1) + F(n-2). Esto coincide con tomar un escalón para llegar a (n-1) seguido de otro escalón, o dos escalones para llegar a (n-2). Por inducción e iteración a través de condiciones definidas, cada una sigue la relación de Fibonacci.

Representación visual

Veamos una sencilla ilustración visual de la inducción matemática utilizando el efecto dominó:

Caso Base Fase Inductiva

Piensa en cada dominó como representante de un caso de inducción matemática. Derribar el primer dominó (el caso base) asegura que todos los dominós subsecuentes (los casos) caigan, esto es similar a demostrar la verdad de una declaración para todos los números naturales por inducción.

Conclusión

Las técnicas de demostración son esenciales para comprender y alcanzar la madurez matemática. Proporcionan un marco riguroso para establecer hipótesis y deducir lógicamente conclusiones a partir de premisas dadas. La demostración directa, la demostración indirecta, la demostración por contraposición, la demostración por inducción matemática y la demostración por agotamiento son los métodos principales cubiertos en el plan de estudios de matemáticas de grado 11, y sientan las bases para un razonamiento matemático más avanzado.

Diferentes tipos de problemas requieren diferentes estrategias de demostración, y dominar estas técnicas es vital para progresar en matemáticas. A medida que practiques y te familiarices con estos métodos, tu capacidad para pensar lógicamente y resolver problemas complejos aumentará enormemente.


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