11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Tabelas-verdade


Na lógica, particularmente na lógica matemática, uma tabela-verdade é uma maneira simples de mostrar os possíveis valores de verdade de um conjunto de expressões lógicas. As tabelas-verdade são ferramentas importantes usadas para entender e aplicar operadores e declarações lógicas. Elas mostram todos os cenários possíveis para entradas e indicam qual será o valor de verdade da expressão para cada uma dessas entradas.

Conceitos básicos

Antes de entrar nas tabelas-verdade, é necessário entender alguns conceitos fundamentais, como proposições, operadores lógicos e expressões:

  • Proposição: Uma proposição é uma declaração que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Por exemplo, "O céu é azul" é uma proposição.
  • Operadores lógicos: Estes são usados para combinar proposições para formar uma nova proposição:
    • E (∧): Se ambas as proposições forem verdadeiras, então o resultado é verdadeiro.
    • Ou (∨): O resultado é verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira.
    • NÃO (¬): Inverte o valor de verdade da proposição.
    • Implicação (→): O resultado é falso somente se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa.
    • Bicondicional (↔): O resultado é verdadeiro quando ambas as proposições possuem o mesmo valor de verdade.
  • Expressões: Expressões lógicas são combinações de proposições conectadas por operadores lógicos.

Entendendo as tabelas-verdade

Uma tabela-verdade é uma maneira sistemática de listar todos os possíveis valores lógicos para proposições e seus valores de verdade resultantes quando combinados usando operadores lógicos. O número de linhas em uma tabela-verdade é determinado por 2^n, onde n é o número de proposições únicas envolvidas.

Tabela de uma única proposição

Comecemos com uma única proposição, P A tabela-verdade para P simplesmente lista os valores de verdade ou falsidade de P:

P
V
F

Operador NÃO (¬)

O operador NÃO inverte o valor de verdade. Por exemplo:

P ¬P
V F
F V

Operador E (∧)

O operador E junta duas proposições e é verdadeiro somente se ambas as proposições forem verdadeiras. Considere as proposições P e Q:

P Q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F

Operador OU (∨)

O operador OU (∨) é verdadeiro se pelo menos uma das duas proposições for verdadeira:

P Q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F

Operador IMPLICA (→)

O operador IMPLICA (também chamado de condicional) é usado para mostrar que uma proposição leva a outra proposição. A implicação P → Q é falsa somente se P for verdadeiro e Q for falso:

P Q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V

Operador Bicondicional (↔)

O operador bicondicional (↔) significa que ambas as proposições devem ser ou verdadeiras ou falsas para que toda a expressão seja verdadeira:

P Q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V

Construção de tabelas-verdade para expressões complexas

Quando você deseja avaliar uma declaração lógica que contém vários operadores, como (P ∧ Q) ∨ ¬R, siga estas etapas:

  1. Identifique as proposições e determine o número de linhas necessárias. Para três proposições, são necessárias 2^3 = 8 linhas.
  2. Crie colunas para cada proposição, expressão intermediária e expressão final.
  3. Preencha os possíveis valores de verdade para cada proposição nas linhas.
  4. Avalie as expressões intermediárias, trabalhando das mais internas para as mais externas, usando operadores lógicos.
  5. Preencha a expressão final com base nos resultados intermediários.

Por exemplo, a expressão (P ∧ Q) ∨ ¬R avaliada resulta em:

P Q R p ∧ q ¬R (p ∧ q) ∨ ¬r
V V V V F V
V V F V V V
V F V F F F
V F F F V V
F V V F F F
F V F F V V
F F V F F F
F F F F V V

Importância das tabelas-verdade

As tabelas-verdade são importantes por várias razões:

  • Explicações: Elas ajudam a esclarecer expressões lógicas complexas, dividindo-as em partes compreensíveis.
  • Ferramenta de ensino: Elas são uma ferramenta inestimável para aprender e ensinar lógica, ajudando os alunos a entender o comportamento dos operadores lógicos.
  • Verificação: Elas são usadas para verificar argumentos lógicos, identificar tautologias (expressões que são sempre verdadeiras), contradições (expressões que são sempre falsas) e contingências (expressões que são às vezes verdadeiras).
  • Álgebra booleana: As tabelas-verdade formam a base da álgebra booleana, que é importante para o design de circuitos e situações de programação em ciência da computação.

Usando tabelas-verdade para determinar equivalência lógica

As tabelas-verdade podem ajudar a estabelecer se duas expressões são logicamente equivalentes. Duas expressões são logicamente equivalentes se têm os mesmos valores de verdade em todos os cenários possíveis. Por exemplo, vamos descobrir se P ∨ Q e Q ∨ P são equivalentes:

P Q p ∨ q q ∨ p
V V V V
V F V V
F V V V
F F F F

Nesse caso, o resultado de ambas P ∨ Q e Q ∨ P é o mesmo para todas as combinações de P e Q Portanto, elas são logicamente equivalentes.

Conclusão

As tabelas-verdade são um conceito fundamental na lógica e no raciocínio matemático que acomodam várias etapas de aprendizagem, fornecendo um método claro e consistente para avaliar expressões lógicas. Elas servem como uma ferramenta essencial de ensino e aprendizagem, pavimentando o caminho para lições avançadas em raciocínio lógico, ciência da computação, filosofia e em qualquer campo que exija análise lógica precisa. Usando as tabelas-verdade de forma eficaz, você pode obter uma compreensão sólida de como expressar, combinar e avaliar proposições lógicas.


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