Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Enunciados y conectivos lógicos


Cuando las personas hablan, a menudo utilizan oraciones declarativas para transmitir información o expresar ideas. En matemáticas, estos se llaman enunciados. Un enunciado es una oración que es verdadera o falsa, pero no ambas. El razonamiento matemático a menudo implica el análisis y la manipulación de enunciados.

Entendiendo los enunciados

Primero, comprendamos qué es un enunciado en lógica matemática. Considere los siguientes ejemplos:

  • "El cielo es azul."
  • "7 + 5 = 12."
  • "Todos los perros tienen cuatro patas."

Cada una de estas oraciones es un enunciado porque pueden identificarse claramente como verdaderas o falsas. Por ejemplo, "el cielo es azul" es generalmente cierto durante un día claro, "7 + 5 = 12" es siempre cierto, y "todos los perros tienen cuatro patas" puede ser debatido porque no todos los perros pueden tener cuatro patas debido a diversas circunstancias.

Tipos de enunciados

Los enunciados pueden dividirse en diferentes tipos, como enunciados simples y enunciados compuestos.

Enunciado simple

Un enunciado simple es un enunciado que no contiene otro enunciado como parte. Por ejemplo:

  • "La Tierra gira alrededor del Sol."
  • "5 es un número primo."

Enunciados mixtos

Un enunciado compuesto se forma combinando dos o más enunciados simples utilizando conectivos lógicos. Por ejemplo:

  • "Está lloviendo y el suelo está mojado."
  • "Está soleado o está nevando."

Coordinador logístico

Los conectivos lógicos son símbolos o palabras que se usan para formar enunciados compuestos uniendo enunciados simples. Los principales conectivos lógicos son:

  • Negación (no): Cambia el valor de verdad del enunciado.
  • Conjunción (Y): Ambos enunciados deben ser verdaderos.
  • Disyunción (O): Al menos uno de los enunciados debe ser verdadero.
  • Condicional (si...entonces): Muestra una relación de implicación donde la verdad de un enunciado sugiere la verdad de otro.
  • Bicondicional (si y solo si): Ambos enunciados son equivalentes, ya sea que ambos sean verdaderos o ambos sean falsos.

Negación

La negación de un enunciado se forma colocando la palabra "no" dentro del enunciado original. Para un enunciado P, la negación se representa como ¬P o "no P".

Ejemplo:

  • Enunciado: "Está lloviendo."
  • Negación: "No está lloviendo."

Para que P sea verdadero, ¬P debe ser falso, y viceversa. La tabla de verdad para la negación es la siguiente:

 | P | ¬P | |---------|--------| | Verdadero | Falso | | Falso | Verdadero |

Coordinador

Una conjunción es un enunciado compuesto hecho usando el conectivo “y”. Para dos enunciados, P y Q, el conectivo se escribe como P ∧ Q, lo que significa que tanto P como Q son verdaderos.

Ejemplo:

  • Enunciado P: "El sol está afuera."
  • Enunciado Q: "Hace calor."
  • Combinación: "Hace sol y calor."

La tabla de verdad para la conjunción es la siguiente:

 | P | Q | P ∧ Q | |---------|---------|---------| | Verdadero | Verdadero | Verdadero | | Verdadero | Falso | Falso | | Falso | Verdadero | Falso | | Falso | Falso | Falso |

Disyunción

La disyunción se forma usando “o”. Para dos enunciados, P y Q, la disyunción se escribe en la forma P ∨ Q, lo que significa que ya sea P es verdadero, o Q es verdadero, o ambos son verdaderos.

Ejemplo:

  • Enunciado P: "Está nevando."
  • Enunciado Q: "Hace mucho frío."
  • Disyunción: "O está nevando o hace frío."

La tabla de verdad para la disyunción es la siguiente:

 | P | Q | P ∨ Q | |---------|---------|---------| | Verdadero | Verdadero | Verdadero | | Verdadero | Falso | Verdadero | | Falso | Verdadero | Verdadero | | Falso | Falso | Falso |

Condicional

Un enunciado condicional se escribe en la forma "si P entonces Q", denotado como P → Q. Esto implica que si P es verdadero, entonces Q también debe ser verdadero.

Ejemplo:

  • Enunciado P: "Llueve."
  • Enunciado Q: "El suelo se moja."
  • Condicional: "Si llueve, entonces el suelo se moja."

La tabla de verdad para el enunciado condicional es la siguiente:

 | P | Q | P → Q | |---------|---------|---------| | Verdadero | Verdadero | Verdadero | | Verdadero | Falso | Falso | | Falso | Verdadero | Verdadero | | Falso | Falso | Verdadero |

Opción binaria

Un enunciado bicondicional se hace usando “si y solo si”, representado como P ↔ Q. Esto implica que P es verdadero solo si Q es verdadero.

Ejemplo:

  • Enunciado P: "Una figura es cuadrada."
  • Enunciado Q: "Tiene cuatro lados iguales y todos ángulos rectos."
  • Bicondicional: "Una figura es cuadrada si y solo si tiene cuatro lados iguales y todos ángulos rectos."

La tabla de verdad para el enunciado bicondicional es la siguiente:

 | P | Q | P ↔ Q | |---------|---------|---------| | Verdadero | Verdadero | Verdadero | | Verdadero | Falso | Falso | | Falso | Verdadero | Falso | | Falso | Falso | Verdadero |

Traducir oraciones en inglés a lógica simbólica

Aprender a traducir enunciados en inglés a lógica simbólica es una habilidad importante en lógica matemática, permitiendo que los argumentos complejos se comprendan más claramente.

Ejemplo de traducción

Considere la oración "Si está lloviendo y la temperatura no es fría, las plantas crecerán."

Lo traducimos paso a paso:

  • Sea R "Está lloviendo."
  • Sea C "la temperatura es fría." (Por lo tanto, "no C" significa "la temperatura no es fría.")
  • Sea G "las plantas crecerán."
  • Usando conectivos lógicos, el enunciado traducido es: (R ∧ ¬C) → G.

Equivalencia lógica y tautología

La equivalencia lógica se refiere a diferentes enunciados lógicos que tienen el mismo valor de verdad en todos los escenarios posibles. Por ejemplo, P → Q es lógicamente equivalente a ¬P ∨ Q. Verificar equivalencias lógicas a menudo implica comparar sus tablas de verdad.

Una tautología es un enunciado que es siempre verdadero, sin importar los valores de verdad de sus componentes. Por ejemplo, P ∨ ¬P es una tautología porque debe ser verdadera (un enunciado o su negación deben ser verdaderos).

Ejemplos de equivalencia lógica

Considere los enunciados P → Q y ¬P ∨ Q. Probemos su equivalencia usando una tabla de verdad:

 | P | Q | P → Q | ¬P | ¬P ∨ Q | |---------|---------|---------|---------|--------| | Verdadero | Verdadero | Verdadero | Falso | Verdadero | | Verdadero | Falso | Falso | Falso | Falso | | Falso | Verdadero | Verdadero | Verdadero | Verdadero | | Falso | Falso | Verdadero | Verdadero | Verdadero |

Como podemos ver en la tabla, en todos los escenarios P → Q tiene el mismo valor de verdad que ¬P ∨ Q, lo que prueba su equivalencia lógica.

Aplicaciones y práctica

Ahora que hemos aprendido lo básico sobre los enunciados y los conectivos lógicos, apliquemos este conocimiento mediante algunos ejercicios para profundizar nuestra comprensión.

Ejercicio 1

Traduce la siguiente oración a lógica simbólica:

"Si el coche es rojo, significa que es rápido o caro."

Solución:

  • Sea R "El coche es rojo."
  • Sea F "el coche es rápido."
  • Sea E "El coche es caro."

Traducción: R → (F ∨ E)

Ejercicio 2

Determina si el enunciado "Si no está lloviendo, entonces no necesitas un paraguas" es lógicamente equivalente a "Si necesitas un paraguas, entonces está lloviendo."

Inténtalo tú mismo usando cualquier método que encuentres conveniente, como tablas de verdad o transformaciones lógicas.

Representación visual de la conjunción de enunciados

Para entender mejor cómo funcionan los conectivos lógicos, imagina el siguiente escenario visual como una representación de (P ∧ Q) ∨ R:

 <svg width="200" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
      <circle cx="50" cy="50" r="40" fill="lightblue" />
      <circle cx="150" cy="50" r="40" fill="lightgreen" />
      <circle cx="100" cy="150" r="40" fill="lightcoral" />
      <text x="40" y="55" font-family="Verdana" font-size="15" fill="black">P</text>
      <text x="140" y="55" font-family="Verdana" font-size="15" fill="black">Q</text>
      <text x="90" y="155" font-family="Verdana" font-size="15" fill="black">R</text>
  </svg>

En la representación visual, P, Q y R son representados como círculos. El conectivo lógico indica qué regiones del diagrama representan enunciados verdaderos. En este caso, (P ∧ Q) está contenido por la intersección de P y Q, y la disyunción con R cubre todas las regiones excepto donde P y Q son falsos y no contiene R

Conclusión

Entender los enunciados y los conectivos lógicos es esencial en lógica matemática, que proporciona la base para construir y analizar argumentos. Familiarizándote con la lógica simbólica, puedes descomponer enunciados complejos en una estructura clara y manejable, facilitando una mejor comprensión en las matemáticas o aplicaciones del mundo real.

Para desarrollar habilidades, es beneficioso practicar la creación de tablas de verdad, reconocer equivalencias lógicas y traducir entre enunciados simbólicos y verbales. Usa los ejercicios anteriores como un punto de partida y extiéndelos creativamente en escenarios de razonamiento lógico más complejos. Considera integrar estos métodos en la resolución de problemas cotidianos para mejorar continuamente tus habilidades de pensamiento lógico.


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Enunciados y conectivos lógicos

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