11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

11º ano ↓


Geometria Analítica


Geometria analítica, também conhecida como geometria coordenada, é um ramo fascinante da matemática que conecta a álgebra com a geometria. Ela nos permite usar a álgebra para resolver problemas geométricos e vice-versa. Este campo utiliza um sistema de coordenadas para representar formas geométricas e nos permite estudar suas propriedades usando métodos algébricos.

Sistema de coordenadas cartesiano

O sistema de coordenadas cartesiano é a base da geometria analítica. Ele recebeu esse nome em homenagem ao matemático francês René Descartes. Este sistema consiste em duas retas numéricas que se cruzam formando ângulos retos. Essas linhas são chamadas de eixos. O eixo horizontal é o eixo x, e o eixo vertical é o eixo y. O ponto onde eles se intersectam é chamado de a origem, denotado por (0, 0).

(0, 0) (11) Eixo x Eixo y

Ponto no plano cartesiano

Todo ponto no plano pode ser representado por um par ordenado de números (x, y). O valor x representa a posição horizontal do ponto, enquanto o valor y representa sua posição vertical. Por exemplo, o ponto (3, 4) está 3 unidades à direita da origem e 4 unidades acima da origem.

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos em um plano pode ser calculada usando a fórmula da distância. Se você tem dois pontos A (x1, y1) e B (x2, y2), então a distância d entre eles é:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Suponha que você queira encontrar a distância entre os pontos (3, 4) e (7, 1). Aplicando a fórmula:

d = √((7 - 3)² + (1 - 4)²) = √(16 + 9) = √25 = 5

Portanto, a distância entre os dois pontos é de 5 unidades.

Ponto médio de um segmento de reta

O ponto médio de um segmento de reta é o ponto que divide o segmento de reta em duas partes iguais. Se você tem um segmento de reta conectando os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2), então o ponto médio M (x, y) é dado por:

x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2

Por exemplo, o ponto médio do segmento de reta conectando os pontos (2, 3) e (4, 7) é:

x = (2 + 4) / 2 = 3 y = (3 + 7) / 2 = 5

Assim, o ponto médio é (3, 5).

Inclinação da linha

A inclinação de uma linha mede sua inclinação e é calculada como a razão da mudança vertical (elevação) para a mudança horizontal (corrida) entre dois pontos na linha. Dado dois pontos A (x1, y1) e B (x2, y2), a inclinação da linha que os conecta é m :

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Considere os pontos (1, 2) e (3, 6), a inclinação da linha é:

m = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2

Isso significa que a linha se eleva 2 unidades para cada 1 unidade que ela se move para a direita.

Equação de uma linha reta

A equação de uma linha reta pode assumir muitas formas, mas a forma mais familiar é a forma de inclinação-interseção, que é expressa como:

y = mx + b

Aqui, m é a inclinação da linha, e b é a interseção no eixo y, que representa o ponto onde a linha cruza o eixo y.

Para uma dada inclinação m = 2 e interseção no eixo y b = -3, a equação da linha é:

y = 2x - 3
(0, 0) y = 2x – 3

Formas de equações lineares

Além da forma de inclinação-interseção, existem outras formas da equação linear:

1. Forma ponto-inclinação

Esta forma é útil quando você conhece um ponto na linha e sua inclinação. Sua fórmula é:

y - y1 = m(x - x1)

2. Forma padrão

A forma padrão da equação da linha é:

Ax + By = C

Aqui, A, B e C são inteiros, e A ≥ 0.

Linhas paralelas e perpendiculares

Na geometria analítica, os conceitos de linhas paralelas e perpendiculares são importantes:

Linhas paralelas

Linhas paralelas têm a mesma inclinação. Assim, se duas linhas são paralelas, suas equações serão as seguintes:

Linha 1: y = m1x + b1 Linha 2: y = m2x + b2

onde m1 = m2.

Linhas perpendiculares

As inclinações das linhas perpendiculares são os recíprocos negativos uma da outra. Se a inclinação de uma linha é m, então a inclinação de uma linha perpendicular a ela será -1/m.

Por exemplo, se a inclinação de uma linha é 2, então a inclinação de uma linha perpendicular a ela será -1/2.

Círculos no plano de coordenadas

A equação de um círculo no plano de coordenadas é dada por seu centro e raio. Com o centro em (h, k) e raio r, a equação geral de um círculo é:

(x - h)² + (y - k)² = r²

A equação para um círculo com centro (2, 3) e raio 5 torna-se:

(x - 2)² + (y - 3)² = 25

Aplicações da geometria analítica

A geometria analítica é amplamente utilizada em vários campos, como física, engenharia, gráficos de computador e desenvolvimento de jogos. Sua capacidade de fornecer uma ligação clara entre álgebra e geometria a torna extremamente útil na resolução de problemas matemáticos complexos.

Por exemplo, na física, é usada para determinar as trajetórias de objetos em movimento. Nos gráficos de computador, a geometria analítica permite a renderização de cenas visuais em uma tela de computador, ajudando a criar gráficos realistas em jogos de vídeo e simulações.

Além disso, a geometria analítica é essencial em sistemas de navegação, como GPS, onde é usada para calcular distâncias entre locais geográficos, e na arquitetura e planejamento urbano, onde medições precisas e determinação de localizações são importantes.

Conclusão

A geometria analítica fornece um poderoso framework para analisar e resolver problemas geométricos com métodos algébricos. Seus conceitos fundamentais, como pontos, linhas, inclinações, distâncias e propriedades de formas geométricas como círculos, fornecem uma compreensão aprofundada das relações espaciais e cálculos matemáticos necessários para se destacar em matemática.

Ao dominar a geometria analítica, você adquire habilidades valiosas aplicáveis em contextos acadêmicos e do mundo real, aumentando sua capacidade de resolver problemas práticos com confiança e precisão.


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