Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Координатная геометрия ↓


Конические сечения


Конические сечения — это кривые, полученные при пересечении двойного конуса с плоскостью. Эти кривые включают окружности, эллипсы, параболы и гиперболы. В координатной геометрии конические сечения изучаются путем изучения их уравнений и графиков. Давайте рассмотрим каждый тип конического сечения подробно.

Окружность

Окружность - это множество точек на плоскости, которые равноудалены от фиксированной точки, называемой центром. Постоянное расстояние от центра до любой точки на окружности называется радиусом.

Уравнение окружности с центром ( (h, k) ) и радиусом ( r ) выглядит следующим образом:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Когда центр окружности находится в начале координат ( (0, 0) ), уравнение упрощается до:

x^2 + y^2 = r^2
R (H, K)

Эллипс

Эллипс — это множество точек, где сумма расстояний от двух фиксированных точек (называемых фокусами) является постоянной. Главная ось — это самый длинный диаметр эллипса, а малая ось — самый короткий.

Стандартная форма эллипса с центром в ( (h, k) ) и главной осью вдоль оси x выглядит следующим образом:

(frac{(x - h)^2}{a^2} + frac{(y - k)^2}{b^2} = 1)

Где ( a ) — полуось, а ( b ) — полуоснова. Если ( a > b ), то главная ось горизонтальна. Если ( b > a ), то она вертикальна.

A B

Парабола

Парабола — это множество точек, таких что любая точка на параболе равноудалена от фиксированной точки, называемой фокусом, и фиксированной прямой, называемой директрисой.

Стандартная форма параболы с вершиной в ( (h, k) ) может варьироваться в зависимости от ориентации:

  • Вертикальная ось: ( y = a(x - h)^2 + k )
  • Горизонтальная ось: ( x = a(y - k)^2 + h )
Center

Гипербола

Гипербола — это множество точек, где разность расстояний от двух фиксированных точек (называемых фокусами) является постоянной. Она имеет две ветви, каждая из которых направлена в сторону от центра.

Стандартная форма гиперболы с центром в ( (h, k) ) и поперечной осью вдоль оси x выглядит следующим образом:

(frac{(x - h)^2}{a^2} - frac{(y - k)^2}{b^2} = 1)

Если поперечная ось расположена вдоль оси y, то уравнение будет:

(frac{(y - k)^2}{a^2} - frac{(x - h)^2}{b^2} = 1)

Свойства конических сечений

Каждый тип конического сечения имеет следующие характерные особенности:

  • Окружность: нет фокуса, постоянный радиус.
  • Эллипс: два фокуса, центрированные в середине главной оси, постоянная сумма аффинных расстояний.
  • Парабола: один фокус и директриса, равномерно расположенные вершины.
  • Гипербола: две расходящиеся ветви, два фокуса, постоянная разность расстояний.

Применение конических сечений

Конические сечения имеют разнообразные применения в таких областях, как инженерия, физика, астрономия и архитектура. Например:

  • Эллиптические: орбиты планет являются эллиптическими и подчиняются законам Кеплера.
  • Парабола: параболические зеркала и антенны фокусируют волны в точку.
  • Радионавигация и определение местоположений осуществляются с использованием гиперболической теории.

Резюме

Конические сечения — важная часть координатной геометрии. У каждого конуса есть уникальные свойства и он может иметь практическое применение в реальных ситуациях. Понимание уравнений и характеристик этих кривых увеличивает знания об их геометрической природе и применении.


Класс 11 → 7.2


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (7.1.5)
Уравнение прямых
следующая (7.2.1) →
Круг

комментарии 



Конические сечения

https://www.buddymath.com/g11/7.2?bmal=ru