11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Coordenadas polares de cônicas


Compreender seções cônicas como elipses, parábolas e hipérboles é uma parte importante da geometria coordenada. Embora essas seções cônicas sejam tipicamente estudadas em coordenadas cartesianas, elas também podem ser representadas elegantemente em coordenadas polares. Este artigo discute em profundidade a representação de cônicas em coordenadas polares.

Introdução às seções cônicas

Seções cônicas são as curvas obtidas cortando um cone circular reto com um plano. Dependendo do ângulo e da posição de interseção, temos diferentes tipos de seções cônicas: círculos, elipses, parábolas e hipérboles. Cada tipo tem uma definição geométrica e equação únicas, tradicionalmente usando coordenadas cartesianas.

Definições básicas

  • Círculo: Um tipo especial de elipse em que o eixo maior é igual ao eixo menor.
  • Elipse: O conjunto de todos os pontos para os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante.
  • Parábola: O conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto fixo (o foco) e uma linha (a diretriz).
  • Hipérbole: O conjunto de todos os pontos para os quais a diferença das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante.

Coordenadas polares

Antes de avançar para cônicas em coordenadas polares, vamos refrescar nosso entendimento de coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto no plano é descrito por sua distância da origem (r) e o ângulo (θ) a partir do eixo x positivo. Este sistema é particularmente útil em situações onde a simetria em torno de um ponto é uma característica predominante.

A conversão entre coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ) é dada pelas equações:

x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)

E vice-versa:

r = √(x² + y²)
θ = arctan(y / x)

Seções cônicas em coordenadas polares

Para cônicas, coordenadas polares frequentemente simplificam a representação e destacam propriedades geométricas subjacentes. Uma equação polar geral para seções cônicas com um foco na origem é:

R = (l) / (1 + e * cos(θ))

onde e é a excentricidade do cone e l é o semilatício retor.

Cone circular

Um círculo em coordenadas polares centrado na origem pode ser simplesmente expresso como:

r = R

Aqui, R é o raio do círculo. Cada ponto no círculo está à mesma distância (R) da origem, independentemente de θ.

Exemplo para r = 5:

5

Cone elíptico

Em coordenadas polares, uma elipse com um foco na origem é dada por:

R = (l) / (1 + e * cos(θ)) , 0 < e < 1

A excentricidade e é menor que 1. Quanto mais próxima da excentricidade é de 0, mais a elipse se parece com um círculo. O parâmetro l está relacionado à distância entre a diretriz e o foco.

Exemplo para r = (10) / (1 + 0.6 * cos(θ)):

Cone parabólico

Para uma parábola, onde um foco está no polo, a equação é a seguinte:

R = (l) / (1 + cos(θ))

A excentricidade de uma parábola é exatamente 1. O conceito de uma diretriz se assemelha bastante ao das coordenadas cartesianas.

Exemplo para r = (6) / (1 + cos(θ)):

Cone hiperbólico

Uma hipérbole em forma polar é mais alongada do que uma elipse:

R = (l) / (1 + e * cos(θ)) , e > 1

A excentricidade é maior que 1. Ao contrário de outras seções cônicas, a hipérbole possui dois ramos.

Exemplo para r = (4) / (1 + 1.5 * cos(θ)):

Derivação e aplicações

Para entender como essas equações são derivadas, considere as propriedades das cônicas. Com o foco na origem, as relações estão diretamente relacionadas à excentricidade e ao semilatício recto. Estas são consistentes ao lidar com equações cartesianas ou polares.

A derivação usa as propriedades de distância inerentes a cada cônica. O paradigma foco-diretriz sustenta as equações polares de cônicas, que às vezes tornam a natureza das curvas mais clara do que as formas cartesianas.

A beleza das coordenadas polares torna-se extremamente importante em situações que envolvem mecânica orbital, que reflete os caminhos reais de planetas, cometas e satélites, que são elípticos, com cada corpo orbitando em um foco.

Exemplos e exercícios adicionais

Para um melhor entendimento, considere praticar convertendo equações de cones cartesianas conhecidas em suas formas polares. Verifique seus resultados ao graficar essas funções para ver se elas correspondem à forma esperada do cone. Da mesma forma, quando confrontado com um problema envolvendo pontos de coordenadas polares, praticar a conversão para cartesiana e vice-versa reforçará seu entendimento.

Exemplo de problema:

Converta a seguinte hipérbole cartesiana para a forma polar.

9x² – 16y² = 144

Solução:

  • Encontre os vértices, focos e diretrizes para o cone em forma cartesiana.
  • Derive uma equação polar usando esses pontos e propriedades.
  • Expresse o resultado em r e θ com as restrições apropriadas para θ.

Conclusão

Usar coordenadas polares para explorar seções cônicas não só fornece novas informações sobre suas propriedades, mas também oferece benefícios práticos em campos como a física e a engenharia. Ao dominar essas formas alternativas, estudantes e profissionais podem obter uma visão mais abrangente da geometria e suas aplicações.


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