Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Coordenadas polares de las cónicas


Entender secciones cónicas como elipses, parábolas e hipérbolas es una parte importante de la geometría de coordenadas. Aunque estas secciones cónicas se estudian típicamente en coordenadas cartesianas, también pueden representarse elegantemente en coordenadas polares. Este artículo discute en profundidad la representación de las cónicas en coordenadas polares.

Introducción a las secciones cónicas

Las secciones cónicas son las curvas obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Dependiendo del ángulo y la posición de la intersección, tenemos diferentes tipos de secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Cada tipo tiene una definición geométrica y ecuación única, tradicionalmente usando coordenadas cartesianas.

Definiciones básicas

  • Círculo: Un tipo especial de elipse en la que el eje mayor es igual al eje menor.
  • Elipse: El conjunto de todos los puntos para los que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante.
  • Parábola: El conjunto de todos los puntos equidistantes de un punto fijo (el foco) y una línea (la directriz).
  • Hipérbola: El conjunto de todos los puntos para los cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante.

Coordenadas polares

Antes de pasar a las cónicas en coordenadas polares, refresquemos nuestro entendimiento de las coordenadas polares. En coordenadas polares, un punto en el plano se describe por su distancia desde el origen (r) y el ángulo (θ) desde el eje x positivo. Este sistema es particularmente útil en situaciones donde la simetría alrededor de un punto es una característica predominante.

La conversión entre coordenadas cartesianas (x, y) y coordenadas polares (r, θ) está dada por las ecuaciones:

x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)

Y viceversa:

r = √(x² + y²)
θ = arctan(y / x)

Secciones cónicas en coordenadas polares

Para cónicas, las coordenadas polares a menudo simplifican la representación y resaltan propiedades geométricas subyacentes. Una ecuación polar general para las secciones cónicas con un foco en el origen es:

R = (l) / (1 + e * cos(θ))

donde e es la excentricidad del cono y l es el recto de la latitud semilatitudinal.

Cono circular

Un círculo en coordenadas polares centrado en el origen puede expresarse simplemente como:

r = R

Aquí, R es el radio del círculo. Cada punto en el círculo está a la misma distancia (R) del origen, independientemente de θ.

Ejemplo para r = 5:

5

Cono elíptico

En coordenadas polares, una elipse con un foco en el origen se da por:

R = (l) / (1 + e * cos(θ)) , 0 < e < 1

La excentricidad e es menor que 1. Cuanto más cerca está la excentricidad de 0, más la elipse se parece a un círculo. El parámetro l está relacionado con la distancia entre la directriz y el foco.

Ejemplo para r = (10) / (1 + 0.6 * cos(θ)):

Cono parabólico

Para una parábola, donde un foco está en el polo, la ecuación es la siguiente:

R = (l) / (1 + cos(θ))

La excentricidad de una parábola es exactamente 1. El concepto de una directriz se asemeja mucho al de las coordenadas cartesianas.

Ejemplo para r = (6) / (1 + cos(θ)):

Cono hiperbólico

Una hipérbola en forma polar es más estirada que una elipse:

R = (l) / (1 + e * cos(θ)) , e > 1

La excentricidad es mayor que 1. A diferencia de otras secciones cónicas, la hipérbola tiene dos ramas.

Ejemplo para r = (4) / (1 + 1.5 * cos(θ)):

Derivación y aplicaciones

Para entender cómo se derivan estas ecuaciones, considere las propiedades de las cónicas. Con el foco en el origen, las relaciones están directamente relacionadas con la excentricidad y la latus rectum. Estas son consistentes al tratar con ecuaciones cartesianas o polares.

La derivación utiliza las propiedades de distancia inherentes en cada cónica. El paradigma foco-directriz subyace a las ecuaciones polares de las cónicas, que a veces hacen que la naturaleza de las curvas sea más clara que las formas cartesianas.

La belleza de las coordenadas polares se vuelve extremadamente importante en situaciones que involucran la mecánica orbital, que reflejan los caminos reales de planetas, cometas y satélites, que son elípticos, con cada cuerpo en órbita en un foco.

Más ejemplos y ejercicios

Para una mejor comprensión, considere practicar convirtiendo ecuaciones de conos cartesianas conocidas en su forma polar. Verifique sus resultados graficando estas funciones para ver si coinciden con la forma esperada del cono. Del mismo modo, cuando se enfrente a un problema que involucre puntos de coordenadas polares, practicar la conversión a cartesianas y viceversa fortalecerá su comprensión.

Problema de ejemplo:

Convertir la siguiente hipérbola cartesiana a forma polar.

9x² – 16y² = 144

Solución:

  • Encuentra los vértices, focos y directrices para el cono en forma cartesiana.
  • Deriva una ecuación polar usando estos puntos y propiedades.
  • Expresa el resultado en r y θ con restricciones apropiadas para θ.

Conclusión

Usar coordenadas polares para explorar las secciones cónicas no solo proporciona nueva información sobre sus propiedades, sino que también ofrece beneficios prácticos en campos como la física y la ingeniería. Al dominar estas formas alternativas, estudiantes y profesionales por igual pueden obtener una visión más completa de la geometría y sus aplicaciones.


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