11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Propriedades dos cônicos


Na matemática, particularmente na geometria analítica, as seções cônicas ou cones são formas que podem ser formadas como a interseção de um plano e um cone. Suas várias propriedades tornam as seções cônicas um tema fascinante que encontra muitas aplicações no âmbito da matemática pura e em aplicações do mundo real. Esses segmentos podem ser classificados como elipses, parábolas e hipérboles, e cada um deles possui características diferentes.

Definições de seção cônica

Antes de considerar as propriedades de cada cone, é importante entender o que são essas formas:

  • Elipse: Uma elipse se parece com um círculo achatado. É o conjunto de todos os pontos onde a soma das distâncias de dois pontos fixos, chamados focos, é constante.
  • Parábola: Uma parábola é uma curva simétrica em relação ao espelho, onde qualquer ponto é equidistante do foco (um ponto fixo) e da diretriz (uma linha reta fixa).
  • Hipérbole: Uma hipérbole consiste em duas curvas espelhadas, chamadas ramos, que se divergem. É o conjunto de todos os pontos onde a diferença absoluta das distâncias para os dois focos é constante.

Equação geral dos cones

As seções cônicas podem ser entendidas através da sua equação quadrática geral como:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

A forma do cone depende dos valores dos coeficientes A, B e C. Veja como a relação entre esses coeficientes determina o tipo de cone:

  • Elipse e Círculo: Quando B² - 4AC < 0
  • Parábola: Quando B² - 4AC = 0
  • Hipérbole: Quando B² - 4AC > 0

Propriedades da elipse

Algumas propriedades interessantes da elipse são:

A equação padrão de uma elipse centrada na origem é dada por:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

onde a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. O comprimento do semi-eixo maior é sempre igual ou maior que o do semi-eixo menor (a ≥ b).

Exemplo visual de uma elipse

B A

Os focos de uma elipse são dois pontos fixos no eixo principal. A soma das distâncias de qualquer ponto na elipse aos dois focos é constante. A distância do centro a cada foco, denotada como c, é calculada como:

c² = a² - b²

Propriedades das parábolas

A parábola possui várias propriedades únicas:

A equação padrão de uma parábola com vértice na origem e eixo de simetria ao longo do eixo y é:

y² = 4ax

onde a é a distância do vértice ao foco.

Exemplo visual de uma parábola

Centro

Nesta forma, a diretriz é uma linha paralela ao eixo y, localizada a uma distância de a unidades do vértice no lado oposto ao foco.

Propriedades da hipérbole

As hipérboles são caracterizadas por suas curvas abertas simétricas:

A equação padrão de uma hipérbole centrada na origem é:

(x²/a²) - (y²/b²) = 1

onde a é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e b está relacionado à distância às assíntotas.

Exemplo visual de hipérbole

Uma hipérbole possui dois ramos, e as assíntotas são as linhas que os ramos se aproximam, mas nunca tocam. A distância de cada foco ao centro é c, encontrada por:

c² = a² + b²

Exemplos de texto e aplicações

Vamos ver como essas seções cônicas podem aparecer em cenários do mundo real:

Exemplo 1: Elipse em astronomia

De acordo com a primeira lei do movimento planetário de Kepler, as órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses, com o Sol em um foco. Suponha que o semi-eixo maior ((a)) para a órbita de um planeta seja 100 milhões de km, e o semi-eixo menor ((b)) seja 80 milhões de km.

Substituindo na equação c² = a² - b², encontramos o comprimento focal:

c² = (100)² - (80)² = 10000 - 6400 = 3600
c = √3600 = 60

Portanto, cada foco está a 60 milhões de km do centro.

Exemplo 2: Parábola no design

Formas parabólicas são comumente usadas em antenas parabólicas. Suponha que você esteja projetando uma antena de forma que o foco esteja a 5 unidades de distância do vértice. A forma padrão seria:

y² = 4 * 5 * x = 20x

Resumo

As seções cônicas – elipses, parábolas e hipérboles – são formas matemáticas complexas com propriedades específicas. Cada uma delas desempenha um papel vital na compreensão da matemática por trás de vários fenômenos naturais e manufaturados. Desde as órbitas dos corpos celestes até os projetos arquitetônicos, essas formas existem em abundância, encontrando um lugar forte na matemática teórica, bem como nas aplicações do mundo real.


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