Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Propiedades de las cónicas


En matemáticas, particularmente en geometría analítica, las secciones cónicas o conos son formas que pueden formarse como la intersección de un plano y un cono. Sus diversas propiedades hacen de las secciones cónicas un tema fascinante que encuentra muchas aplicaciones en el ámbito de las matemáticas puras y en aplicaciones del mundo real. Estos segmentos pueden clasificarse como elipses, parábolas e hipérbolas, y cada uno de ellos tiene diferentes características.

Definiciones de sección cónica

Antes de considerar las propiedades de cada cono, es importante entender qué son estas formas:

  • Elipse: Una elipse se ve como un círculo aplanado. Es el conjunto de todos los puntos donde la suma de las distancias desde dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
  • Parábola: Una parábola es una curva simétrica en espejo donde cualquier punto es equidistante del foco (un punto fijo) y la directriz (una línea recta fija).
  • Hipérbola: Una hipérbola consta de dos curvas en espejo, llamadas ramas, que divergen. Es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia absoluta de las distancias a los dos focos es constante.

Ecuación general de los conos

Las secciones cónicas pueden entenderse a través de su ecuación cuadrática general como:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

La forma del cono depende de los valores de los coeficientes A, B y C. Así es como la relación entre estos coeficientes determina el tipo de cono:

  • Elipse y Círculo: Cuando B² - 4AC < 0
  • Parábola: Cuando B² - 4AC = 0
  • Hipérbola: Cuando B² - 4AC > 0

Propiedades de la elipse

Algunas propiedades interesantes de la elipse son:

La ecuación estándar de una elipse centrada en el origen es:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

donde a es el semieje mayor y b es el semieje menor. La longitud del semieje mayor es siempre igual o mayor que el semieje menor (a ≥ b).

Ejemplo visual de una elipse

B A

Los focos de una elipse son dos puntos fijos en el eje principal. La suma de las distancias desde cualquier punto en la elipse a los dos focos es constante. La distancia desde el centro a cada foco, denotada como c, se calcula como:

c² = a² - b²

Propiedades de las parábolas

La parábola tiene varias propiedades únicas:

La ecuación estándar de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría a lo largo del eje y es:

y² = 4ax

donde a es la distancia desde el vértice al foco.

Ejemplo visual de una parábola

Centro

En esta forma, la directriz es una línea paralela al eje y, ubicada a una distancia a unidades del vértice en el lado opuesto al foco.

Propiedades de la hipérbola

Las hipérbolas se caracterizan por sus curvas abiertas simétricas:

La ecuación estándar de una hipérbola centrada en el origen es:

(x²/a²) - (y²/b²) = 1

donde a es la distancia desde el centro a los vértices a lo largo del eje x, y b se refiere a la distancia a las asíntotas.

Ejemplo visual de hipérbola

Una hipérbola tiene dos ramas, y las asíntotas son las líneas que las ramas se acercan pero nunca tocan. La distancia de cada foco desde el centro es c, y se encuentra por:

c² = a² + b²

Ejemplos de texto y aplicaciones

Veamos cómo estas secciones cónicas pueden aparecer en escenarios del mundo real:

Ejemplo 1: Elipse en astronomía

Según la primera ley del movimiento planetario de Kepler, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses, con el Sol en un foco. Supongamos que el semieje mayor ((a)) para la órbita de un planeta es de 100 millones de km, y el semieje menor ((b)) es de 80 millones de km.

Sustituyendo en la ecuación c² = a² - b², encontramos la longitud focal:

c² = (100)² - (80)² = 10000 - 6400 = 3600
c = √3600 = 60

Por lo tanto, cada foco está a 60 millones de km del centro.

Ejemplo 2: Parábola en el diseño

Las formas parabólicas se utilizan comúnmente en antenas parabólicas. Supongamos que está diseñando una antena de tal manera que el foco esté a 5 unidades del vértice. La forma estándar sería:

y² = 4 * 5 * x = 20x

Resumen

Las secciones cónicas – elipses, parábolas e hipérbolas – son formas matemáticas complejas con propiedades específicas. Cada una de ellas juega un papel vital en la comprensión de las matemáticas detrás de varios fenómenos naturales y manufacturados. Desde las órbitas de los cuerpos celestes hasta el diseño arquitectónico, estas formas existen en abundancia, encontrando un lugar fuerte en las matemáticas teóricas así como en aplicaciones del mundo real.


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