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शंकु के खंडों में अतिपरवलय को समझना
गणित और निर्देशांक ज्यामिति की दुनिया में, शंकु खंड वे वक्र होते हैं जो किसी विमान को शंकु से काटकर प्राप्त होते हैं। इन शंकु खंडों में वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय शामिल होते हैं। इनमें से, अतिपरवलय एक आकर्षक आंकड़ा है जिसका उपयोग वास्तुकला से लेकर भौतिकी तक कई क्षेत्रों में किया जाता है। यह कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में प्रकट होता है। इस गाइड में, हम अतिपरवलय का अन्वेषण करेंगे, इसके समीकरण, गुणों को समझेंगे और देखेंगे कि इसे ग्राफिक रूप से कैसे दर्शाया जा सकता है।
अतिपरवलय क्या है?
अतिपरवलय एक प्रकार का शंकु खंड है जो तब होता है जब एक विमान डबल शंकु की दोनों नैप्स (ऊपरी और निचली भुजाएँ) को काटता है, ऐसा कि विमान का कोण ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ शंकु के उत्पत्ति करने वाले और ऊर्ध्वाधर अक्ष के बीच का कोण से कम होता है। इस प्रकार दो अलग-अलग वक्र उत्पन्न होते हैं जो एक-दूसरे के प्रतिबिंब होते हैं, जिन्हें अतिपरवलय की शाखाएँ कहा जाता है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण
मूल में केंद्रित अतिपरवलय के समीकरण का मानक रूप इस प्रकार दिया गया है:
(frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1) (क्षैतिज अतिपरवलय) (frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1) (ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय)इन समीकरणों में, (a) और (b) वास्तविक संख्याएँ हैं जो अतिपरवलय के आकार और अभिविन्यास को निर्धारित करती हैं:
- (a) – अर्ध-प्रमुख अक्ष की लंबाई।
- (b) – अर्ध-अल्प अक्ष की लंबाई।
अतिपरवलय का अभिविन्यास
यह इस पर निर्भर करता है कि अक्ष अनुपात क्षैतिज है या ऊर्ध्वाधर, अतिपरवलय दो आकार ले सकता है:
- यदि (x^2) पद सकारात्मक है और (y^2) पद नकारात्मक है, तो अतिपरवलय बाएँ और दाएँ खुलता है। यह एक क्षैतिज अतिपरवलय है।
- यदि (y^2) पद सकारात्मक है और (x^2) पद नकारात्मक है, तो अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है। यह एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय है।
एसवीजी के साथ अतिपरवलय का दृश्य उदाहरण
नीचे ग्राफिक तत्वों का उपयोग करके अतिपरवलय का एक प्रतिनिधित्व है। दो विपरीत वक्रों की कल्पना करें जो एक-दूसरे से भिन्न होते हैं।
ऊपर का ग्राफ मूल के चारों ओर केंद्रित एक क्षैतिज अतिपरवलय दिखाता है, जिसकी दो शाखाएँ बाईं और दाईं ओर विस्तारित होती हैं। के केंद्र पर मिलते हुए रेखाएँ निर्देशांक अक्ष हैं। वक्र द्वारा निर्मित आकृति अतिपरवलय की विशेषता है।
फोकस और अनुप्रस्थ अक्ष
अतिपरवलय में, फोकस (एकवचन: फोकस) वे दो स्थिर बिंदु होते हैं जिनका उपयोग अतिपरवलय की औपचारिक परिभाषा में किया जाता है। अतिपरवलय के प्रत्येक बिंदु की दूरी एक फोकस से घटाकर दूसरे फोकस से की जाती है। अनुप्रस्थ अक्ष वह रेखा खंड है जो अतिपरवलय के अक्ष के लंबवत होता है। केंद्र और दोनों फोकस से गुजरता है।
क्षैतिज अतिपरवलय के लिए, फोकस x-अक्ष के साथ ((c, 0)) और ((-c, 0)) पर स्थित होते हैं, जहाँ (c) केंद्र से प्रत्येक फोकस की दूरी है, जो इस प्रकार गणना की जाती है:
c = sqrt{a^2 + b^2}अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई (2a) द्वारा दी जाती है, जो केंद्र से शीर्ष तक की क्षैतिज दूरी के मान का दो गुना प्रतिनिधित्व करती है।
फोकस और अनुप्रस्थ अक्ष का दृश्य उदाहरण
ऊपर के डायग्राम में, लाल बिंदु (F_1) और (F_2) अतिपरवलय के फोकस हैं। ये बिंदु अतिपरवलय की परिभाषा के केंद्र में होते हैं। धूसर रेखा अनुप्रस्थ अक्ष का प्रतिनिधित्व करती है।
संयुग्मक अक्ष
संयुग्मक अक्ष वह रेखा खंड है जो अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत होता है, जो अतिपरवलय के केंद्र से गुजरता है। इसकी लंबाई (2b) होती है और यह दूसरे अक्ष के साथ होती है जिससे अतिपरवलय नहीं खुलता।
एक क्षैतिज अतिपरवलय के लिए संयुग्मक अक्ष ऊर्ध्वाधर होता है, और ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय के लिए यह क्षैतिज होता है।
संयुग्मक अक्ष का दृश्य उदाहरण
यहां, नीली रेखा संयुग्मक अक्ष को दर्शाती है। ध्यान दें कि यह अनुप्रस्थ अक्ष के लंबवत है, जो अतिपरवलय की परिभाषा की रूपरेखा का निर्माण करती है।
अतिपरवलय का विकेन्द्रता
अतिपरवलय का विकेंद्रीकरण (जिसे (e) के रूप में निरूपित किया जाता है) इसके "चपटी" का एक माप है और इसे फोकसों के बीच की दूरी के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है अनुप्रस्थ अक्ष से दूरी।
e = frac{c}{a}अतिपरवलय के लिए विकेन्द्रता हमेशा 1 से अधिक होती है, क्योंकि फोकसों के बीच की दूरी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई से अधिक होती है।
अतिपरवलय के व्यवहारिक उदाहरण
अतिपरवलय का उपयोग विभिन्न वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों और प्राकृतिक घटनाओं में किया जाता है:
- रेडियो एंटीना डिजाइन: अतिपरवलयों के परावर्तक गुण दिशात्मक रेडियो एंटेना डिजाइन करने में सहायक होते हैं।
- सोनिक बूम: सुपरसोनिक गति से यात्रा करने वाली वस्तुओं द्वारा उत्पन्न पैटर्न अतिपरवलयिक शॉक वेव्स उत्पन्न करते हैं।
- नेविगेशन सिस्टम: नेविगेशन सिस्टम में अतिपरवलय के सिद्धांतों का उपयोग सिग्नल प्राप्ति में समय के अंतर के आधार पर स्थिति निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
अतिपरवलय को दर्शाने वाले समीकरणों के उदाहरण
- फोकस ((pm5, 0)) पर और शीर्ष ((pm3, 0)) पर स्थित अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करें।
दिए गए शीर्ष ((pm3, 0)), हम जानते हैं (a = 3)। फोकस ((pm5, 0)) पर है, तो (c = 5)। निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हुए:
c^2 = a^2 + b^2 25 = 9 + b^2 b^2 = 16अतिपरवलय का समीकरण है:
(frac{x^2}{9} - frac{y^2}{16} = 1)- एक अतिपरवलय को (frac{y^2}{49} - frac{x^2}{16} = 1) के समीकरण द्वारा दर्शाया गया है। अभिविन्यास, फोकस, और विकेन्द्रता की पहचान करें।
यह एक ऊर्ध्वाधर अतिपरवलय है क्योंकि (y^2) पद सकारात्मक है। यहाँ, (b = 7) और (a = 4), इसलिए हम (c) की गणना करते हैं:
c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 16 + 49 c = sqrt{65}फोकस ((0, pm sqrt{65})) पर हैं, और विकेन्द्रता है:
e = frac{sqrt{65}}{4}निष्कर्ष
अतिपरवलय एक महत्वपूर्ण शंकु खंड है जिसमें दिलचस्प गुण और अनुप्रयोग होते हैं। उनके गणितीय निरूपण, ज्यामिति, और फोकस और अक्स की भूमिका को समझने से, हम अतिपरवलय की सुंदरता और उपयोगिता की सराहना कर सकते हैं। इंजीनियरिंग और खगोल विज्ञान जैसे क्षेत्रों में उनकी उपस्थिति उनके महत्व और बहुमुखी प्रतिभा को दर्शाती है। उदाहरणों और दृश्याइज़ेशन के माध्यम से, हम अतिपरवलय के आकर्षक स्वभाव की गहरी अंतर्दृष्टि प्राप्त करते हैं।
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