Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 → Geometría coordinada → Secciones cónicas ↓


Elipse en una sección cónica


La elipse es un concepto fascinante e importante en geometría coordinada. Es uno de los cuatro tipos de secciones cónicas, que también incluyen la parábola, hipérbola y círculo. En esta explicación, aprenderás todo sobre las elipses, sus propiedades, ecuaciones y varias características. Adquirirás una comprensión más profunda a través de texto, ejemplos y visualizaciones.

¿Qué es una elipse?

Una elipse es una forma que se asemeja a un círculo prolado. Puede definirse de varias maneras, pero una definición común es que una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano donde la suma de las distancias de dos puntos fijos (llamados focos) es constante.

Imaginemos que hay dos clavijas en el tablero que indican el foco, y un lazo de cuerda tensa alrededor de ellas. Si usas un lápiz para trazar el camino de la cuerda mientras la mantienes tensa, dibujarás una elipse.

Ecuación estándar de una elipse

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro en el origen (0,0) es:

(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1
  • a es el semieje mayor.
  • b es el semieje menor.
  • El eje mayor es el diámetro más largo y el eje menor es el diámetro más corto.

Cuando a > b, la elipse es larga horizontalmente. Cuando b > a, es larga verticalmente.

Ejemplo visual de una elipse

Eje principalEje menor

Propiedades de la elipse

1. Ejes

Los ejes mayor y menor en el centro de la elipse son perpendiculares entre sí. Sus longitudes son 2a y 2b respectivamente.

2. Foco

Los dos puntos fijos dentro de la elipse son los focos. Se encuentran en el eje principal a la misma distancia del centro. La distancia c de cada foco desde el centro se determina por la ecuación:

c^2 = a^2 - b^2

Si el agua refleja la luz, una imagen colocada en un foco aparecerá en el otro. Esta propiedad ayuda a los arquitectos a usar elipses para obtener interesantes resultados acústicos y reflectantes.

3. Singularidad

La excentricidad de una elipse muestra cuán alargada es y se define por la siguiente fórmula:

e = c/a

Para las elipses, 0 < e < 1 ya que la excentricidad se aproxima a 0 cuando la elipse se asemeja a un círculo.

Ejemplos de elipses

Ejemplo 1: Elipse horizontal

Considera una elipse centrada en el origen, con a = 5 y b = 3 Su ecuación es:

(x^2/5^2) + (y^2/3^2) = 1

El foco se encuentra mediante:

c^2 = 5^2 - 3^2 = 16
 c = sqrt(16) = 4

Así los focos están en (4,0) y (-4,0).

Ejemplo 2: Elipse vertical

Tomemos una elipse con a = 3 y b = 5 La ecuación se transforma de la siguiente manera:

(x^2/3^2) + (y^2/5^2) = 1

Para el foco:

c^2 = 5^2 - 3^2 = 16
 c = sqrt(16) = 4

Los focos se encuentran en las posiciones (0,4) y (0,-4).

Derivación de la ecuación de la elipse

La definición usual nos ayuda a obtener la ecuación de la elipse. Sea la elipse con focos en (-c, 0) y (c, 0), y un punto (x, y). La suma de las distancias desde este punto hasta el foco es igual a 2a:

sqrt((x + c)^2 + y^2) + sqrt((x - c)^2 + y^2) = 2a

Al cuadrar y simplificar obtenemos:

((x + c)^2 + y^2) = (2a - sqrt((x - c)^2 + y^2))^2

Expandiendo los términos y dejando que el álgebra haga el trabajo obtenemos la ecuación de la elipse:

Restar, reorganizar los términos y dividir a^2 b^2, lo que da:

(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1

Aplicaciones de las elipses

Las elipses tienen muchas aplicaciones prácticas en la vida real. Se encuentran en las órbitas de planetas, satélites y las trayectorias de cuerpos celestes, lo que demuestra su relevancia en astronomía. En ingeniería, las elipses apoyan diseños de puentes y arcos en arquitectura que son conocidos por su eficiencia estructural y estética.

Puntos finales

Aprender sobre elipses es una parte importante de la comprensión de las secciones cónicas y sus aplicaciones se extienden mucho más allá de las matemáticas puras, en campos como la física, ingeniería y las artes. Ya sea investigando en aulas o explorando acústica arquitectónica, las elipses demuestran tanto forma como función, personificando la elegancia en simplicidad y profundidad en complejidad.

Para dominar las elipses, practica la resolución de una variedad de problemas relacionados con las elipses, desde calcular áreas hasta derivar figuras geométricas, para asegurar tanto la comprensión como la versatilidad en la aplicación.


Grado 11 → 7.2.3


U
username
0%
completado en Grado 11

← Anterior (7.2.2)
Introducción a las parábolas
Siguiente (7.2.4) →
Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas

Comentarios 



Elipse en una sección cónica

https://www.buddymath.com/g11/7.2.3?bmal=es