Круг

В математике, особенно в координатной геометрии, круг является увлекательной фигурой, часто изучаемой в 11-м классе. Круг — это простая замкнутая фигура, представляющая собой множество всех точек на плоскости, которые находятся на фиксированном расстоянии от фиксированной точки. Эта фиксированная точка называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки на круге называется радиусом.

Определение круга

Круг можно определить как геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки. Математически, если центр круга находится в точке ( (h, k) ) и радиус равен ( r ), то точка ( (x, y) ) лежит на круге только в том случае, если:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Это уравнение называется стандартным уравнением круга. Давайте разберем каждый компонент уравнения:

• Центр: Точка ( (h, k) ) является центром круга.
• Радиус: Значение ( r ) представляет собой радиус круга, которое является расстоянием от центра до любой точки на круге.
• Точка ( (x, y): Любая точка, удовлетворяющая уравнению, лежит на окружности круга.

Уравнение круга

Стандартная форма

Если центр круга находится в начале координат ( (0, 0) ) и радиус равен ( r ), уравнение упрощается до:

x^2 + y^2 = r^2

В этом конкретном случае центр круга находится в начале координат, поэтому в уравнении нет компонентов ( h ) и ( k ).

Общая форма

Общая форма уравнения круга имеет вид:

x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0

В этом уравнении:

• ( g ) и ( f ) — это константы, связанные с центром круга.
• ( c ) — это константа, влияющая на расстояние круга от начала координат.

Центр ( (h, k) ) и радиус ( r ) круга можно определить из ( g ), ( f ) и ( c ) по следующим соотношениям:

h = -g, k = -f, r = sqrt{g^2 + f^2 - c}

Пример

Пример 1: Круг с известным центром и радиусом

Рассмотрим круг с центром ( (3, -2) ) и радиусом 5. Чтобы найти уравнение круга, подставьте эти значения в стандартное уравнение ( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ):

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

Раскрывая скобки, получаем:

x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 25

x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0

Таким образом, уравнение круга: ( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 ).

Пример 2: Круг с центром в начале координат

Рассмотрим круг с центром в начале координат и радиусом 7. Уравнение этого круга:

x^2 + y^2 = 49

Простота этого уравнения объясняется тем, что нет горизонтального или вертикального смещения от начала координат.

Свойства круга

Понимание основных свойств круга важно для решения задач, связанных с этой фигурой в координатной геометрии. Вот некоторые ключевые свойства:

• Симметрия: Круг симметричен относительно своего центра. Он выглядит одинаково со всех сторон, что делает его изучение очень интересным в геометрии.
• Хорда: Отрезок прямой, соединяющий две точки на круге. Самая длинная хорда — это диаметр.
• Диаметр: Особый вид хорды, проходящей через центр. Он в два раза больше радиуса: ( d = 2r ).
• Окружность: Общая длина окружности, вычисляется с помощью ( C = 2pi r ).
• Площадь: Площадь, ограниченная кругом, определяется формулой ( A = pi r^2 ).

Связь с коническими сечениями

Круги как конические сечения могут быть получены при пересечении правого круглого конуса с плоскостью, параллельной его основанию. Кривая пересечения — это круг. Это делает круг особым случаем эллипса, когда две фокальные точки совмещаются.

Примеры кругов в координатной геометрии

Пример 3: Нахождение центра и радиуса по уравнению

Дано уравнение круга в общей форме: ( x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0 ), найдите центр и радиус.

Сначала перепишите уравнение, доводя его до полной квадрата:

x^2 - 4x + y^2 + 6y = -9

Доводим до полного квадрата для терминов ( x ) и ( y ):

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = -9 + 4 + 9

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4

Из этого мы определяем центр как ( (2, -3) ) и радиус как ( sqrt{4} = 2 ).

Пример 4: Преобразование уравнения круга из общей формы в стандартную

Рассмотрим круг, заданный уравнением ( 2x^2 + 2y^2 - 8x + 16y - 4 = 0 ).

Разделите на 2, чтобы упростить уравнение:

x^2 + y^2 - 4x + 8y - 2 = 0

Перепишите уравнение, доводя его до полного квадрата:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 8y + 16) = 2 + 4 + 16

(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 22

Таким образом, круг с центром в ( (2, -4) ) имеет радиус ( sqrt{22} ).

Визуальный путь образования геометрического места

Представьте, что один конец нити фиксируется в фиксированной точке (центре), а другой конец описывает полный круг вокруг нее. Каждое положение конца нити, когда она натянута, отмечает окружность круга, демонстрируя концепцию круга как геометрического места точек.

Заключение

Понимание кругов в координатной геометрии включает исследование различных форм уравнений, свойств и их геометрических последствий. Как видно из примеров, возможность перехода между стандартной и нормальной формами, доведение до полного квадрата и идентификация ключевых компонентов, таких как радиус и центр, являются важными навыками. Освоение этих концепций позволяет точно представлять и манипулировать кругами в различных математических контекстах. На практике эти принципы образуют основу для более сложных геометрических и алгебраических приложений, иллюстрируя красоту и полезность кругов в рамках математики и за ее пределами.

комментарии