11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Círculo


Em matemática, especialmente na geometria coordenada, o círculo é uma figura fascinante que é frequentemente estudada na Classe 11. Um círculo é uma figura fechada simples que é o conjunto de todos os pontos em um plano que estão a uma distância fixa de um ponto fixo. Este ponto fixo é chamado de centro do círculo, e a distância do centro a qualquer ponto no círculo é chamada de raio.

Definição de círculo

Um círculo pode ser definido como o lugar geométrico dos pontos no plano equidistantes de um ponto dado. Matematicamente, se o centro de um círculo está no ponto ( (h, k) ) e o raio é ( r ), então um ponto ( (x, y) ) está no círculo se e somente se:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Esta equação é chamada de equação padrão de um círculo. Vamos analisar cada componente da equação:

  • Centro: O ponto ( (h, k) ) é o centro do círculo.
  • Raio: O valor ( r ) representa o raio do círculo, que é a distância do centro a qualquer ponto do círculo.
  • Ponto ( (x, y): Qualquer ponto que satisfaça a equação está na circunferência do círculo.

Equação de um círculo

Forma padrão

Se o centro de um círculo está na origem ( (0, 0) ) e o raio é ( r ), então a equação simplifica-se para:

x^2 + y^2 = r^2
(0,0) raio r

Neste caso particular, o centro do círculo é a origem, de modo que a equação não tem componentes ( h ) e ( k ).

Forma geral

A forma geral da equação de um círculo é dada por:

x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0

Nesta equação:

  • ( g ) e ( f ) são constantes relacionadas ao centro do círculo.
  • ( c ) é uma constante que afeta a distância do círculo a partir da origem.
O centro ( (h, k) ) e o raio ( r ) de um círculo podem ser determinados a partir de ( g ), ( f ) e ( c ) pelas seguintes relações:

h = -g, k = -f, r = sqrt{g^2 + f^2 - c}

Exemplo

Exemplo 1: Círculo com centro e raio conhecidos

Consideremos um círculo com centro ( (3, -2) ) e raio 5. Para encontrar a equação do círculo, substituímos esses valores na equação da forma padrão ( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ):

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

Expandindo essa equação, temos:

x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 25

x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0

Assim, a equação do círculo é ( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 ).

Exemplo 2: Círculo com centro na origem

Considere um círculo com centro na origem e raio 7. A equação desse círculo é:

x^2 + y^2 = 49
(0,0) 7

A simplicidade desta equação decorre do fato de não haver deslocamento horizontal ou vertical a partir da origem.

Propriedades do círculo

Compreender as propriedades básicas de um círculo é essencial para resolver problemas relacionados a essa figura na geometria coordenada. Aqui estão algumas propriedades principais:

  • Simetria: Um círculo é simétrico em relação ao seu centro. Ele parece o mesmo de qualquer direção, tornando seu estudo muito interessante na geometria.
  • Corda: Um segmento de linha que une dois pontos em um círculo. A corda mais longa é o diâmetro.
  • Diâmetro: Um tipo especial de corda que passa pelo centro. Ele é duas vezes o raio: ( d = 2r ).
  • Circunferência: A distância total ao redor de um círculo, calculada usando ( C = 2pi r ).
  • Área: A área delimitada por um círculo, dada pela fórmula ( A = pi r^2 ).

Relação com seções cônicas

Círculos como seções cônicas podem ser obtidos ao seccionar um cone circular reto com um plano paralelo à sua base. A curva de interseção é um círculo. Isso faz do círculo um caso especial de uma elipse onde os dois focos se encontram.

(H,K)

Exemplos de círculos na geometria coordenada

Exemplo 3: Encontrando o centro e o raio a partir da equação

Dada uma equação de círculo na forma geral: ( x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0 ), encontre o centro e o raio.

Primeiro, reescreva a equação completando o quadrado:

x^2 - 4x + y^2 + 6y = -9

Complete o quadrado para os termos ( x ) e ( y ):

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = -9 + 4 + 9

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4

A partir disso, identificamos o centro como ( (2, -3) ) e o raio como ( sqrt{4} = 2 ).

Exemplo 4: Convertendo a equação de um círculo de forma geral para padrão

Considere o círculo dado pela equação ( 2x^2 + 2y^2 - 8x + 16y - 4 = 0 ).

Divida por 2 para simplificar toda a equação:

x^2 + y^2 - 4x + 8y - 2 = 0

Reescreva o quadrado completando-o:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 8y + 16) = 2 + 4 + 16

(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 22

Assim, o círculo centrado em ( (2, -4) ) tem raio ( sqrt{22} ).

Caminho visual da formação do lugar geométrico

Imagine colocar uma extremidade de um fio em um ponto fixo (o centro) e desenhar um círculo completo ao redor dele. Cada posição da ponta do fio, quando está esticado, marca a circunferência do círculo, demonstrando o conceito de um círculo como um lugar geométrico de pontos.

esconderijo Centro

Conclusão

Compreender círculos na geometria coordenada envolve explorar diferentes formas de equações, propriedades e suas implicações geométricas. Como pode ser visto nos exemplos, ser capaz de mover-se entre formas padrão e normais, completar o quadrado e identificar componentes-chave como raio e centro são habilidades essenciais. Dominar esses conceitos torna possível representar e manipular círculos com precisão em uma variedade de contextos matemáticos. Na prática, esses princípios formam a base para aplicações geométricas e algébricas mais complexas, ilustrando a beleza e a utilidade dos círculos na matemática e além.


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