Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Círculo


En matemáticas, especialmente en geometría analítica, el círculo es una figura fascinante que se estudia a menudo en Clase 11. Un círculo es una figura simple cerrada que es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto fijo. Este punto fijo se llama el centro del círculo, y la distancia desde el centro a cualquier punto en el círculo se llama el radio.

Definición de círculo

Un círculo se puede definir como el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistantes de un punto dado. Matemáticamente, si el centro de un círculo está en el punto ( (h, k) ) y el radio es ( r ), entonces un punto ( (x, y) ) se encuentra en el círculo si y solo si:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Esta ecuación se llama la ecuación estándar de un círculo. Vamos a desglosar cada componente de la ecuación:

  • Centro: El punto ( (h, k) ) es el centro del círculo.
  • Radio: El valor ( r ) representa el radio del círculo, que es la distancia desde el centro a cualquier punto en el círculo.
  • Punto ( (x, y): Cualquier punto que satisface la ecuación se encuentra en la circunferencia del círculo.

Ecuación de un círculo

Forma estándar

Si el centro de un círculo está en el origen ( (0, 0) ) y el radio es ( r ), entonces la ecuación se simplifica a:

x^2 + y^2 = r^2
(0,0) radius r

En este caso particular, el centro del círculo es el origen, por lo que la ecuación no tiene componentes ( h ) y ( k ).

Forma general

La forma general de la ecuación de un círculo se da como:

x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0

En esta ecuación:

  • ( g ) y ( f ) son constantes relacionadas con el centro del círculo.
  • ( c ) es una constante que afecta la distancia del círculo desde el origen.
El centro ( (h, k) ) y el radio ( r ) de un círculo se pueden determinar a partir de ( g ), ( f ), y ( c ) mediante las siguientes relaciones:

h = -g, k = -f, r = sqrt{g^2 + f^2 - c}

Ejemplo

Ejemplo 1: Círculo con centro y radio conocidos

Consideremos un círculo con centro ( (3, -2) ) y radio 5. Para encontrar la ecuación del círculo, sustituya estos valores en la ecuación de forma estándar ( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 ):

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25

Expandir esta ecuación da:

x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 25

x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0

Por lo tanto, la ecuación del círculo es ( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 ).

Ejemplo 2: Círculo con centro en el origen

Considere un círculo con centro en el origen y radio 7. La ecuación de este círculo es:

x^2 + y^2 = 49
(0,0) 7

La simplicidad de esta ecuación se debe al hecho de que no hay desplazamiento horizontal o vertical desde el origen.

Propiedades del círculo

Entender las propiedades básicas de un círculo es esencial para resolver problemas relacionados con esta figura en geometría analítica. Aquí hay algunas propiedades clave:

  • Simetría: Un círculo es simétrico sobre su centro. Se ve igual desde cualquier dirección, lo que hace que su estudio sea muy interesante en geometría.
  • Cuerda: Un segmento de línea que une dos puntos en un círculo. La cuerda más larga es el diámetro.
  • Diámetro: Un tipo especial de cuerda que pasa por el centro. Es el doble del radio: ( d = 2r ).
  • Circunferencia: La distancia total alrededor de un círculo, calculada usando ( C = 2pi r ).
  • Área: El área encerrada por un círculo, dada por la fórmula ( A = pi r^2 ).

Relación con las secciones cónicas

Los círculos como secciones cónicas se pueden obtener intersecando un cono circular recto con un plano paralelo a su base. La curva de intersección es un círculo. Esto hace que el círculo sea un caso especial de una elipse donde los dos puntos focales se encuentran.

(H,K)

Ejemplos de círculos en geometría analítica

Ejemplo 3: Encontrar el centro y el radio a partir de la ecuación

Dada una ecuación de círculo en forma general: ( x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0 ), encuentre el centro y el radio.

Primero, reescriba la ecuación completando el cuadrado:

x^2 - 4x + y^2 + 6y = -9

Complete el cuadrado para los términos ( x ) y ( y ):

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = -9 + 4 + 9

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4

De esto identificamos el centro como ( (2, -3) ) y el radio como ( sqrt{4} = 2 ).

Ejemplo 4: Convertir la ecuación de un círculo de forma general a estándar

Considere el círculo dado por la ecuación ( 2x^2 + 2y^2 - 8x + 16y - 4 = 0 ).

Divida por 2 para simplificar toda la ecuación:

x^2 + y^2 - 4x + 8y - 2 = 0

Reescriba el cuadrado completándolo:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 8y + 16) = 2 + 4 + 16

(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 22

Por lo tanto, el círculo centrado en ( (2, -4) ) tiene radio ( sqrt{22} ).

Camino visual de la formación del lugar geométrico

Imagine colocar un extremo de un hilo en un punto fijo (el centro) y dibujar un círculo completo alrededor de él. Cada posición de la punta del hilo, cuando está tenso, marca la circunferencia del círculo, demostrando el concepto de un círculo como un lugar geométrico de puntos.

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Conclusión

Entender los círculos en geometría analítica implica explorar diferentes formas de ecuaciones, propiedades y sus implicaciones geométricas. Como se puede ver en los ejemplos, poder moverse entre las formas estándar y normal, completando el cuadrado e identificando componentes clave como el radio y el centro son habilidades esenciales. Dominar estos conceptos hace posible representar y manipular círculos con precisión en una variedad de contextos matemáticos. En la práctica, estos principios forman la base para aplicaciones geométricas y algebraicas más complejas, ilustrando la belleza y utilidad de los círculos dentro de las matemáticas y más allá.


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