11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Equação de linhas


Na geometria analítica, a equação de uma linha é um conceito fundamental usado para descrever uma linha reta em um plano. Compreender a equação das linhas é importante porque nos ajuda a representar e analisar formas geométricas e resolver problemas a elas relacionados. Neste artigo, aprenderemos sobre as equações das linhas em detalhes, incluindo as diferentes formas de equações de linha, como derivá-las e como usá-las.

O que é Linha?

Uma linha é uma figura unidimensional reta que não possui espessura e se estende infinitamente em ambas as direções. Ela é determinada por pelo menos dois pontos. No plano de coordenadas, geralmente especificamos uma linha identificando sua inclinação e intercepto y ou conhecendo dois pontos distintos sobre ela.

Forma de inclinação-intercepto

A forma de inclinação-intercepto é uma das formas mais simples e amplamente usadas de uma equação de linha. É expressa como:

y = mx + b

Onde:

  • m é a inclinação da linha.
  • b é o intercepto y da linha, que é o ponto onde a linha intersecta o eixo y.

Inclinação (m) representa a mudança na coordenada y para uma mudança de uma unidade na coordenada x. É calculada como a razão da elevação (mudança em y) sobre a execução (mudança em x). Se a inclinação é positiva, a linha sobe da esquerda para a direita; se for negativa, a linha desce.

Exemplo visual:

y = mx + b 0 X Y

Forma ponto-inclinação

A forma ponto-inclinação é útil quando você conhece um ponto na linha e a inclinação. É apresentada desta forma:

y - y1 = m(x - x1)

Onde:

  • (x1, y1) é um ponto conhecido na linha.
  • m é a inclinação da linha.

Esta forma é especialmente útil para rapidamente encontrar a equação de uma linha quando os pontos na linha e a inclinação são conhecidos.

Exemplo de texto:

Suponha que temos um ponto (3, 2) e inclinação 4. A forma ponto-inclinação da linha pode ser escrita como:

y - 2 = 4(x - 3)

Expandindo esta equação, obtemos o resultado:

y = 4x - 12 + 2

Assim, a equação se torna:

y = 4x - 10

Forma geral da linha

A forma normal de uma linha é uma maneira direta de expressar a equação de linha em um formato padrão:

Ax + By + C = 0

Aqui:

  • A, B e C são constantes.
  • Ambos A e B não são zero.

Embora esta forma seja menos intuitiva que a forma de inclinação-intercepto, ainda pode ser útil porque representa todas as linhas, incluindo linhas verticais, que não podem ser expressas como y = mx + b.

Exemplo de texto:

Se tivermos a equação da linha 3x + 4y - 12 = 0, podemos reorganizá-la em forma de inclinação-intercepto para encontrar sua inclinação e intercepto y:

4y = -3x + 12
y = -3/4x + 3

Linhas verticais e horizontais

Linhas verticais e horizontais são casos especiais de linhas retas com equações únicas.

Linhas verticais

Uma linha vertical é paralela ao eixo y e sua inclinação é indefinida. A equação da linha vertical é:

x = a

onde a é a coordenada x de todos os pontos na linha.

Linhas horizontais

Uma linha horizontal é paralela ao eixo x e tem uma inclinação de zero. A equação da linha horizontal é:

y = b

onde b é a coordenada y de todos os pontos na linha.

Exemplo visual:

y = b x = a 0 X Y

Forma de dois pontos

Esta forma é necessária quando você não conhece a inclinação mas possui dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) na linha. É expressa da seguinte forma:

y - y1 = ((y2 - y1)/(x2 - x1)) * (x - x1)

Esta equação basicamente calcula a inclinação dividindo a diferença nos valores y pela diferença nos valores x.

Exemplo de texto:

Para dois pontos (2, 3) e (5, 11), substitua os valores na fórmula e obtenha:

y - 3 = ((11 - 3)/(5 - 2)) * (x - 2)

Como ((11 - 3)/(5 - 2)) = 8/3, a equação se torna:

y - 3 = (8/3)(x - 2)

Expandindo-a, obtemos:

y = (8/3)x - 16/3 + 3
y = (8/3)x + 9/3
y = (8/3)x + 3

Correlações entre diferentes formas

Compreender as diferentes formas de equações de linha ajuda a modificá-las para atender às suas necessidades. Por exemplo, converter a forma ponto-inclinação para a forma de inclinação-intercepto pode facilitar a identificação da inclinação e do intercepto y.

Exemplo de conversão de texto:

Suponha que comecemos com a forma ponto-inclinação de uma linha: y - 2 = 5(x - 1). Para converter isso para a forma de inclinação-intercepto:

y - 2 = 5x - 5
y = 5x - 5 + 2
y = 5x - 3

A partir da transformação, fica claro que a inclinação m é 5, e o intercepto b é -3. Essas transformações simplificam a visualização e compreensão do comportamento da linha no gráfico.

Conclusão

A equação de uma linha na geometria analítica abrange muitas formas diferentes, cada uma das quais tem sua própria utilidade que requer diferentes pontos de dados. Dominar essas formas enriquece sua compreensão geométrica e o equipa com ferramentas versáteis para resolver problemas complexos envolvendo linhas. Seja trabalhando com a simplicidade da forma de inclinação-intercepto, a singularidade das formas ponto-inclinação ou dois pontos, ou a generalidade da forma padrão, essas equações são fundamentais para a geometria analítica.


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